题目
两个半径分别为`d和`d（`d）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电`d，试计算：（1）外球壳上的电荷分布及电势大小；（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；（3）再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量。
两个半径分别为
和
（
）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电
，试计算：
（1）外球壳上的电荷分布及电势大小；
（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
（3）再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算外球壳上的电荷分布及电势大小
内球壳带电 $+q$，根据电荷守恒，外球壳内表面带电 $-q$，外表面带电 $+q$。电势由内球壳和外球壳内表面的电荷产生，计算公式为 $U = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_2} - \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}$。
步骤 2：计算外球壳接地后的电荷分布及电势
外球壳接地后，外表面电荷 $+q$ 入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 $-q$。此时球壳电势由内球壳 $+q$ 与内表面 $-q$ 产生，计算公式为 $U = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_2} - \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}$。
步骤 3：计算内球壳接地后的电荷分布及外球壳上的电势改变量
设此时内球壳带电量为 $q'$，则外壳内表面带电量为 $-q'$，外壳外表面带电量为 $-q + q'$。此时内球壳电势为零，且 ${U}_{A} = \dfrac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R_1} - \dfrac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} + \dfrac{-q + q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} = 0$，解得 $q' = \dfrac{R_1}{R_2}q$。外球壳上电势 ${U}_{B} = \dfrac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} - \dfrac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} + \dfrac{-q + q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} = \dfrac{(R_1 - R_2)q}{4\pi \varepsilon_0 R_2}$。
内球壳带电 $+q$，根据电荷守恒，外球壳内表面带电 $-q$，外表面带电 $+q$。电势由内球壳和外球壳内表面的电荷产生，计算公式为 $U = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_2} - \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}$。
步骤 2：计算外球壳接地后的电荷分布及电势
外球壳接地后，外表面电荷 $+q$ 入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 $-q$。此时球壳电势由内球壳 $+q$ 与内表面 $-q$ 产生，计算公式为 $U = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_2} - \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 R_1}$。
步骤 3：计算内球壳接地后的电荷分布及外球壳上的电势改变量
设此时内球壳带电量为 $q'$，则外壳内表面带电量为 $-q'$，外壳外表面带电量为 $-q + q'$。此时内球壳电势为零，且 ${U}_{A} = \dfrac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R_1} - \dfrac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} + \dfrac{-q + q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} = 0$，解得 $q' = \dfrac{R_1}{R_2}q$。外球壳上电势 ${U}_{B} = \dfrac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} - \dfrac{q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} + \dfrac{-q + q'}{4\pi \varepsilon_0 R_2} = \dfrac{(R_1 - R_2)q}{4\pi \varepsilon_0 R_2}$。