10.设矩阵A=(}1&-12&3.

本题主要考查矩阵的不同范数的计算，包括1 - 范数、2 - 范数、$\infty$ - 范数和Frobenius范数。下面将分别介绍这几种范数的计算方法并进行计算。

1. 计算矩阵$A$的1 - 范数$||A||_1$

矩阵的1 - 范数定义为矩阵列元素绝对值之和的最大值。
已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1& - 1\\2&3\end{pmatrix}$，计算每列元素绝对值之和：

• 第一列元素绝对值之和为$\vert1\vert+\vert2\vert = 1 + 2 = 3$；
• 第二列元素绝对值之和为$\vert - 1\vert+\vert3\vert = 1 + 3 = 4$。
  比较两列元素绝对值之和，取最大值，可得$||A||_1=\max(3,4)=4$。

2. 计算矩阵$A$的$\infty$ - 范数$||A||_{\infty}$

矩阵的$\infty$ - 范数定义为矩阵行元素绝对值之和的最大值。
计算每行元素绝对值之和：

• 第一行元素绝对值之和为$\vert1\vert+\vert - 1\vert = 1 + 1 = 2$；
• 第二行元素绝对值之和为$\vert2\vert+\vert3\vert = 2 + 3 = 5$。
  比较两行元素绝对值之和，取最大值，可得$||A||_{\infty}=\max(2,5)=5$。

3. 计算矩阵$A$的2 - 范数$||A||_2$

矩阵的2 - 范数定义为矩阵的最大奇异值，而矩阵$A$的奇异值是矩阵$A^TA$的特征值的平方根。
首先计算$A^TA$：
$A^T=\begin{pmatrix}1&2\\ - 1&3\end{pmatrix}$，则$A^TA=\begin{pmatrix}1&2\\ - 1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& - 1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1 + 2\times2&1\times(-1)+2\times3\\(-1)\times1 + 3\times2&(-1)\times(-1)+3\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&5\\5&10\end{pmatrix}$。
然后求$A^TA$的特征值，根据特征方程$\vert\lambda E - A^TA\vert = 0$，其中$E$为单位矩阵，可得：
$\begin{vmatrix}\lambda - 5& - 5\\ - 5&\lambda - 10\end{vmatrix}=(\lambda - 5)(\lambda - 10)-(-5)\times(-5)=\lambda^2 - 15\lambda + 50 - 25=\lambda^2 - 15\lambda + 25 = 0$。
由一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a = 1$，$b = - 15$，$c = 25$）的求根公式$\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，可得：
$\lambda=\frac{15\pm\sqrt{(-15)^2 - 4\times1\times25}}{2\times1}=\frac{15\pm\sqrt{225 - 100}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{125}}{2}=\frac{15\pm5\sqrt{5}}{2}$。
取最大特征值$\lambda_{max}=\frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}$，则矩阵$A$的2 - 范数$||A||_2=\sqrt{\lambda_{max}}=\sqrt{\frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}}$。

4. 计算矩阵$A$的Frobenius范数$||A||_F$

矩阵的Frobenius范数定义为矩阵元素平方和的平方根。
对于矩阵$A=\begin{pmatrix}1& - 1\\2&3\end{pmatrix}$，元素平方和为$1^2+(-1)^2 + 2^2+3^2 = 1 + 1 + 4 + 9 = 15$，则$||A||_F=\sqrt{15}$。