设函数f(x,y)具有一阶偏导数,且对任意的(x),y都有f₁(x,y) >0,f₂(x,y)A. f(0,1)B. f(0,0)C. f(0,1) >f(1,0)D. f(0,0) >f(1,1)

考查要点：本题主要考查多元函数偏导数的几何意义及函数值的变化规律。
解题核心思路：通过偏导数的符号判断函数值随变量变化的趋势，结合变量变化方向综合分析函数值的大小关系。
破题关键点：

1. 偏导数的符号：$f_1(x,y) > 0$ 表示 $f$ 随 $x$ 增大而增大，$f_2(x,y) < 0$ 表示 $f$ 随 $y$ 增大而减小。
2. 变量变化方向：比较两点函数值时，需分析 $x$ 和 $y$ 的变化方向对函数值的综合影响。

选项分析

选项A：$f(0,1) < f(1,0)$

• 变量变化：从 $(0,1)$ 到 $(1,0)$，$x$ 增加 $1$，$y$ 减少 $1$。
• 影响分析：
  • $x$ 增加 $\Rightarrow f$ 增大（因 $f_1 > 0$）。
  • $y$ 减少 $\Rightarrow f$ 增大（因 $f_2 < 0$，$y$ 减少相当于负向变化）。
• 结论：$f(1,0) > f(0,1)$，选项A正确。

选项B：$f(0,0) < f(1,1)$

• 变量变化：从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，$x$ 和 $y$ 均增加 $1$。
• 影响分析：
  • $x$ 增加 $\Rightarrow f$ 增大。
  • $y$ 增加 $\Rightarrow f$ 减小。
• 综合影响：无法确定两者的抵消结果，需具体函数验证。例如，若 $f(x,y) = x - y$，则 $f(0,0) = f(1,1) = 0$，选项B不成立。

选项C：$f(0,1) > f(1,0)$

• 与选项A矛盾，显然错误。

选项D：$f(0,0) > f(1,1)$

• 与选项B类似，若 $f(x,y) = x - y$，则 $f(0,0) = f(1,1) = 0$，选项D不成立。