题目
8.若函数 f (x ) 在闭区间 [a,b] 上连续， f (a )b ，证明：至少存在一点ξ∈ (a,b) ，使得 f (ξ )=ξ .
8.若函数 f (x ) 在闭区间 [a,b] 上连续， f (a )b ，证明：至少存在一点ξ∈ (a,b) ，使得 f (ξ )=ξ .
题目解答
答案
证明：设 F (x )=f (x )−x ，则 F (x) 在 [a,b] 上连续，又F (a )=f (a)−a<0 ， F (b )=f (b )−b>0 ，故由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点 ξ∈ (a,b) ，使 F (ξ )=0 ，即 f (ξ )=ξ .习题 2.1
解析
考查要点：本题主要考查连续函数的零点定理的应用，以及通过构造辅助函数解决存在性问题的能力。
解题核心思路：
将原问题转化为寻找辅助函数的零点问题。构造函数$F(x) = f(x) - x$，利用已知条件$f(a) < a$和$f(b) > b$，结合零点定理，证明存在$\xi \in (a,b)$使得$F(\xi) = 0$，即$f(\xi) = \xi$。
破题关键点：
- 构造辅助函数$F(x) = f(x) - x$，将方程$f(x) = x$的解转化为$F(x) = 0$的解。
- 验证$F(x)$在区间$[a,b]$上的连续性。
- 计算端点$F(a)$和$F(b)$的符号，利用零点定理保证零点存在。
步骤1：构造辅助函数
定义函数$F(x) = f(x) - x$。由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$x$是连续函数，因此$F(x)$在$[a,b]$上连续。
步骤2：计算端点函数值
- 当$x = a$时，$F(a) = f(a) - a$。根据题意$f(a) < a$，故$F(a) < 0$。
- 当$x = b$时，$F(b) = f(b) - b$。根据题意$f(b) > b$，故$F(b) > 0$。
步骤3：应用零点定理
由于$F(x)$在$[a,b]$上连续，且$F(a) < 0$，$F(b) > 0$，根据零点定理，至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$F(\xi) = 0$，即$f(\xi) = \xi$。