[题目]讨论曲线 =4ln x+k 与 =4x+(ln )^4x 的交点个-|||-数.

步骤 1：定义函数
定义函数 $\varphi (x)=4x+{\ln }^{4}x-4\ln x-k$ , 其中 $x\gt 0$ , 交点个数即为函数 $\varphi (x)$ 的零点个数.
步骤 2：求导
求导得 $\varphi '(x)=\dfrac {4({\ln }^{3}x-1+x)}{x}$ .
步骤 3：分析导数符号
分析导数符号,得 $\varphi '(x)$ 在 $(0,1)$ 内小于0,在 $(1,+\infty )$ 内大于0,因此 $\varphi (x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递减,在 $(1,+\infty )$ 内单调递增.
步骤 4：求极值
$\varphi (x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值,最小值为 $\varphi (1)=4-k$ .
步骤 5：讨论极值
根据 $\varphi (1)$ 的值,讨论函数 $\varphi (x)$ 与x轴的交点个数.
步骤 6：总结
当 $\varphi (1)\gt 0$ ,即 $k\lt 4$ 时,函数 $\varphi (x)$ 与x轴无交点,即两条曲线无交点.
当 $\varphi (1)=0$ ,即 $k=4$ 时,函数 $\varphi (x)$ 与x轴交于点 $(1,0)$ ,即两条曲线只有一个交点.
当 $\varphi (1)\lt 0$ ,即 $k\gt 4$ 时,函数 $\varphi (x)$ 与x轴有两个交点,分别位于区间 $(0,1)$ 与 $(1,+\infty )$ 内,即两条曲线有两个交点.