题目

一、单选题（共25题，50.0分） 19.（单选题，2.0分） 函数y=x^2-2x+3在区间[0，2]上的最小值是（） A. 3 B. 2 C. 0 D. 1

一、单选题（共25题，50.0分） 19.（单选题，2.0分） 函数$y=x^{2}-2x+3$在区间[0，2]上的最小值是（）
A. 3
B. 2
C. 0
D. 1

题目解答

答案

函数 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 可以重写为顶点形式 $ y = (x-1)^2 + 2 $。 - 顶点为 $ (1, 2) $，且抛物线开口向上，故顶点处取得最小值。 - 顶点 $ x = 1 $ 在区间 $[0, 2]$ 内，最小值为 $ y(1) = 2 $。 或者，求导得 $ y' = 2x - 2 $，令 $ y' = 0 $ 解得 $ x = 1 $。 - 计算端点和极值点：$ y(0) = 3 $，$ y(1) = 2 $，$ y(2) = 3 $。 - 最小值为 $ y(1) = 2 $。 答案：$\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值求解，涉及配方法或导数法的应用，以及对函数图像性质的理解。

解题核心思路：

  1. 二次函数的顶点式：通过配方或求导找到顶点位置，判断顶点是否在给定区间内。
  2. 闭区间最值规律：开口向上的抛物线在闭区间上的最小值可能出现在顶点或区间端点。
  3. 关键步骤：确定顶点坐标，验证顶点是否在区间内，计算端点和顶点处的函数值，比较后得出最小值。

方法一：配方法

将函数$y = x^2 - 2x + 3$配方：
$y = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2$
顶点坐标为$(1, 2)$，开口向上，故顶点处取得最小值。
验证顶点是否在区间$[0, 2]$内：$x = 1$属于区间，因此最小值为$y(1) = 2$。

方法二：导数法

求导得$y' = 2x - 2$，令$y' = 0$，解得$x = 1$。
计算端点和极值点的函数值：

  • $y(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3$
  • $y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 2$
  • $y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 3$
    比较得最小值：$y(1) = 2$。