题目
15、计算三重积分iiintlimits_(Omega)(1)/(sqrt(x^2)+y^(2))dv，其中Ω是由曲线}x^2=2z,y=0绕z轴旋转一周而成的旋转曲面与平面z=2所围成的闭区域.
15、计算三重积分$\iiint\limits_{\Omega}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dv$，其中Ω是由曲线$\begin{cases}x^{2}=2z,\\y=0\end{cases}$绕z轴旋转一周而成的旋转曲面与平面z=2所围成的闭区域.
题目解答
答案
将积分区域 $\Omega$ 转换为柱坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元素 $dv = r\,dr\,d\theta\,dz$。曲面方程变为 $r^2 = 2z$，积分区域为：
\[ 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq r \leq 2, \quad \frac{r^2}{2} \leq z \leq 2. \]
被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{r}$，积分变为：
\[ \iiint\limits_{\Omega} \frac{1}{r} \cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{\frac{r^2}{2}}^2 dz\,dr\,d\theta. \]
先对 $z$ 积分得：
\[ \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left(2 - \frac{r^2}{2}\right) dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} \left[2r - \frac{r^3}{6}\right]_0^2 d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{8}{3} d\theta = \frac{16\pi}{3}. \]
**答案：** $\boxed{\frac{16\pi}{3}}$
解析
步骤 1：转换积分区域为柱坐标系
将积分区域 $\Omega$ 转换为柱坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元素 $dv = r\,dr\,d\theta\,dz$。曲面方程变为 $r^2 = 2z$，积分区域为： \[ 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq r \leq 2, \quad \frac{r^2}{2} \leq z \leq 2. \]
步骤 2：转换被积函数
被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{r}$，积分变为： \[ \iiint\limits_{\Omega} \frac{1}{r} \cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{\frac{r^2}{2}}^2 dz\,dr\,d\theta. \]
步骤 3：计算三重积分
先对 $z$ 积分得： \[ \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left(2 - \frac{r^2}{2}\right) dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} \left[2r - \frac{r^3}{6}\right]_0^2 d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{8}{3} d\theta = \frac{16\pi}{3}. \]
将积分区域 $\Omega$ 转换为柱坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元素 $dv = r\,dr\,d\theta\,dz$。曲面方程变为 $r^2 = 2z$，积分区域为： \[ 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq r \leq 2, \quad \frac{r^2}{2} \leq z \leq 2. \]
步骤 2：转换被积函数
被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{r}$，积分变为： \[ \iiint\limits_{\Omega} \frac{1}{r} \cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_{\frac{r^2}{2}}^2 dz\,dr\,d\theta. \]
步骤 3：计算三重积分
先对 $z$ 积分得： \[ \int_0^{2\pi} \int_0^2 \left(2 - \frac{r^2}{2}\right) dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} \left[2r - \frac{r^3}{6}\right]_0^2 d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{8}{3} d\theta = \frac{16\pi}{3}. \]