某年级有甲、乙、丙三个班级，三个班级的期末考试平均成绩分别为70分、88分和74分，若甲班和乙班的平均成绩为78分，乙班和丙班的平均成绩为82分，问该年级的期末考试平均成绩为多少分？ ( ) A. 75 B. 77 C. 79 D. 81

本题考查加权平均数的计算及方程组的应用。解题核心在于通过已知的班级组合平均分，建立方程求出各班级人数的比例关系，进而计算整体平均分。关键在于：

1. 设定变量：用$a$、$b$、$c$分别表示甲、乙、丙班级的人数；
2. 列方程：根据甲乙组合和乙丙组合的平均分，建立关于$a$、$b$、$c$的方程；
3. 求比例：解方程得到$a$与$b$、$c$与$b$的关系；
4. 代入总分与总人数：用比例关系计算整体平均分。

设定变量与列方程

设甲、乙、丙三个班级的人数分别为$a$、$b$、$c$。

1. 甲乙组合的平均分：
   $\frac{70a + 88b}{a + b} = 78$
   化简得：
   $70a + 88b = 78(a + b) \implies 10b = 8a \implies a = \frac{5}{4}b$

2. 乙丙组合的平均分：
   $\frac{88b + 74c}{b + c} = 82$
   化简得：
   $88b + 74c = 82(b + c) \implies 6b = 8c \implies c = \frac{3}{4}b$

计算整体平均分

将$a = \frac{5}{4}b$和$c = \frac{3}{4}b$代入总分与总人数：

• 总分：
  $70a + 88b + 74c = 70 \cdot \frac{5}{4}b + 88b + 74 \cdot \frac{3}{4}b = \frac{350}{4}b + 88b + \frac{222}{4}b = 231b$
• 总人数：
  $a + b + c = \frac{5}{4}b + b + \frac{3}{4}b = 3b$
• 平均分：
  $\frac{231b}{3b} = 77$