题目

已知复数=-1+sqrt (3)i，那么它的指数表达形式为( )A.=-1+sqrt (3)i(=-1+sqrt (3)i)B.=-1+sqrt (3)iC.=-1+sqrt (3)i(=-1+sqrt (3)i)或=-1+sqrt (3)iD.以上都不对D. 以上都不对

已知复数 $z=-1+\sqrt{3}i$ ，那么它的指数表达形式为( )

A. $2e^{i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)}$ ( $k=0,\pm1,\pm2,\cdots$ )

B. $2e^{-\frac{2\pi}{3}}$

C. $2e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)}$ ( $k=0,\pm1,\pm2,\cdots$ )或 $2e^{\frac{2\pi}{3}i}$

D.以上都不对

D. 以上都不对

题目解答

答案

解：已知复数 $z=-1+\sqrt{3}i$ ，则：

$-1+\sqrt{3}i=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

$=2\left[\cos\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)\right]$

$=2e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)}$ ， $k=0,\pm1,\pm2,\cdots$ ，

所以指数表达形式为： $z=2e^{i\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)}$ ， $k=0,\pm1,\pm2,\cdots$ ，

故答案为：D.

解析

步骤 1：确定复数的模
复数$z=-1+\sqrt{3}i$的模为$|z|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$。

步骤 2：确定复数的幅角
复数$z=-1+\sqrt{3}i$的幅角$\theta$满足$\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$，$\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，因此$\theta=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$，其中$k=0,\pm1,\pm2,...$。

步骤 3：写出复数的指数形式
根据欧拉公式$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，复数$z$的指数形式为$z=2e^{i(\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi)}$，其中$k=0,\pm1,\pm2,...$。