2 (10分) 将一枚硬币连抛3次，以X表示出现的正面次数，Y表示出现反面的次数，求X与Y的联合分布律，并求事件“至少出现一次正面、一次反面”的概率。

为了求解X与Y的联合分布律以及事件“至少出现一次正面、一次反面”的概率，我们按照以下步骤进行： 1. **确定X和Y的可能取值：** - 由于硬币连抛3次，正面次数X可以取0, 1, 2, 3。 - 反面次数Y可以取0, 1, 2, 3。 - 但是，由于每次抛硬币的结果要么是正面要么是反面，所以X + Y = 3。因此，Y = 3 - X。 2. **列出X与Y的联合分布律：** - 当X = 0时，Y = 3，表示3次都是反面，概率为 $ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $。 - 当X = 1时，Y = 2，表示1次正面2次反面，概率为 $ \binom{3}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $。 - 当X = 2时，Y = 1，表示2次正面1次反面，概率为 $ \binom{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} $。 - 当X = 3时，Y = 0，表示3次都是正面，概率为 $ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $。 因此，X与Y的联合分布律为： \[ \begin{array}{c|c|c|c|c} X \backslash Y & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{8} \\ \hline 1 & 0 & 0 & \frac{3}{8} & 0 \\ \hline 2 & 0 & \frac{3}{8} & 0 & 0 \\ \hline 3 & \frac{1}{8} & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \] 3. **求事件“至少出现一次正面、一次反面”的概率：** - 事件“至少出现一次正面、一次反面”意味着X和Y都不为0，即X = 1, 2且Y = 1, 2。 - 从联合分布律中，我们可以看到，X = 1, Y = 2的概率为 $ \frac{3}{8} $。 - X = 2, Y = 1的概率为 $ \frac{3}{8} $。 - 因此，事件“至少出现一次正面、一次反面”的概率为 $ \frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $。 最终答案为： \[ \boxed{\frac{3}{4}} \]