题目
1-17 质点在 Oxy 平面内运动 ,其运动方程为 r= 2.0ti + (19.0 -2.0t2 )j,式中 r 的单位为m,t的单位为 s.求: (1)质点的轨迹方程; (2) 在 t1= 1.0s 到 t2 = 2.0s 时间内的平均速度; (3)t1 = 1.0s时的速度及切向和法向加速度; (4) t = 1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径 ρ.
1-17 质点在 Oxy 平面内运动 ,其运动方程为 r= 2.0ti + (19.0 -2.0t2 )j,式中 r 的单位为
m,t的单位为 s.求: (1)质点的轨迹方程; (2) 在 t1= 1.0s 到 t2 = 2.0s 时间内的平均速度; (3)
t1 = 1.0s时的速度及切向和法向加速度; (4) t = 1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径 ρ.
题目解答
答案
分析 根据运动方程可直接写出其分量式 x = x(t)和 y = y(t),从中消去参数 t,即得质点的
Δr
轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率 ,即 v ,它与时间间隔 Δ t 的
Δt
dr
大小有关 ,当 Δ t→0 时 ,平均速度的极限即瞬时速度 v . 切向和法向加速度是指在自然坐
dt
dv
标下的分矢量 at 和 an ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率 ,即 at dv et ,后者只
dt
反映质点速度方向的变化 ,它可由总加速度 a 和 at 得到. 在求得 t1 时刻质点的速度和法向加
解析
步骤 1：求质点的轨迹方程
质点的运动方程为 r = 2.0ti + (19.0 - 2.0t^2)j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴方向的单位向量。根据运动方程，可以得到质点的 x 和 y 分量：
x = 2.0t
y = 19.0 - 2.0t^2
消去参数 t，得到质点的轨迹方程：
t = x / 2.0
y = 19.0 - 2.0(x / 2.0)^2
y = 19.0 - 0.5x^2
步骤 2：求 t1 = 1.0s 到 t2 = 2.0s 时间内的平均速度
平均速度 v = Δr / Δt，其中 Δr 是质点在 t1 到 t2 时间内的位移，Δt 是时间间隔。
在 t1 = 1.0s 时，质点的位置为 r1 = 2.0i + (19.0 - 2.0)j = 2.0i + 17.0j
在 t2 = 2.0s 时，质点的位置为 r2 = 4.0i + (19.0 - 8.0)j = 4.0i + 11.0j
Δr = r2 - r1 = (4.0i + 11.0j) - (2.0i + 17.0j) = 2.0i - 6.0j
Δt = t2 - t1 = 2.0s - 1.0s = 1.0s
v = Δr / Δt = (2.0i - 6.0j) / 1.0s = 2.0i - 6.0j
步骤 3：求 t1 = 1.0s 时的速度及切向和法向加速度
速度 v = dr / dt，其中 r 是质点的位置矢量。
v = d(2.0ti + (19.0 - 2.0t^2)j) / dt = 2.0i - 4.0tj
在 t1 = 1.0s 时，质点的速度为 v1 = 2.0i - 4.0j
切向加速度 at = dv / dt，其中 v 是质点的速度矢量。
at = d(2.0i - 4.0tj) / dt = -4.0j
法向加速度 an = a - at，其中 a 是质点的总加速度矢量。
a = d(2.0i - 4.0tj) / dt = -4.0j
an = a - at = -4.0j - (-4.0j) = 0
步骤 4：求 t = 1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径 ρ
曲率半径 ρ = |v|^3 / |v × a|，其中 v 是质点的速度矢量，a 是质点的总加速度矢量。
在 t = 1.0s 时，质点的速度为 v = 2.0i - 4.0j，总加速度为 a = -4.0j
|v| = √(2.0^2 + (-4.0)^2) = √20
v × a = (2.0i - 4.0j) × (-4.0j) = 8.0i
|v × a| = √(8.0^2) = 8.0
ρ = |v|^3 / |v × a| = (√20)^3 / 8.0 = 5.0
质点的运动方程为 r = 2.0ti + (19.0 - 2.0t^2)j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴方向的单位向量。根据运动方程，可以得到质点的 x 和 y 分量：
x = 2.0t
y = 19.0 - 2.0t^2
消去参数 t，得到质点的轨迹方程：
t = x / 2.0
y = 19.0 - 2.0(x / 2.0)^2
y = 19.0 - 0.5x^2
步骤 2：求 t1 = 1.0s 到 t2 = 2.0s 时间内的平均速度
平均速度 v = Δr / Δt，其中 Δr 是质点在 t1 到 t2 时间内的位移，Δt 是时间间隔。
在 t1 = 1.0s 时，质点的位置为 r1 = 2.0i + (19.0 - 2.0)j = 2.0i + 17.0j
在 t2 = 2.0s 时，质点的位置为 r2 = 4.0i + (19.0 - 8.0)j = 4.0i + 11.0j
Δr = r2 - r1 = (4.0i + 11.0j) - (2.0i + 17.0j) = 2.0i - 6.0j
Δt = t2 - t1 = 2.0s - 1.0s = 1.0s
v = Δr / Δt = (2.0i - 6.0j) / 1.0s = 2.0i - 6.0j
步骤 3：求 t1 = 1.0s 时的速度及切向和法向加速度
速度 v = dr / dt，其中 r 是质点的位置矢量。
v = d(2.0ti + (19.0 - 2.0t^2)j) / dt = 2.0i - 4.0tj
在 t1 = 1.0s 时，质点的速度为 v1 = 2.0i - 4.0j
切向加速度 at = dv / dt，其中 v 是质点的速度矢量。
at = d(2.0i - 4.0tj) / dt = -4.0j
法向加速度 an = a - at，其中 a 是质点的总加速度矢量。
a = d(2.0i - 4.0tj) / dt = -4.0j
an = a - at = -4.0j - (-4.0j) = 0
步骤 4：求 t = 1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径 ρ
曲率半径 ρ = |v|^3 / |v × a|，其中 v 是质点的速度矢量，a 是质点的总加速度矢量。
在 t = 1.0s 时，质点的速度为 v = 2.0i - 4.0j，总加速度为 a = -4.0j
|v| = √(2.0^2 + (-4.0)^2) = √20
v × a = (2.0i - 4.0j) × (-4.0j) = 8.0i
|v × a| = √(8.0^2) = 8.0
ρ = |v|^3 / |v × a| = (√20)^3 / 8.0 = 5.0