题目
观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系S和S'中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔(t)_(2)-(t)_(1)=4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为t(')_(2)-(t')_(1)=5s，求：（1）S'相对于S的运动速度。（2）乙测得这两个事件发生的地点的距离。
观测者甲和乙分别静止于两个惯性参照系S和$S'$中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔${t}_{2}-{t}_{1}=4s$，而乙测得这两个事件的时间间隔为$t{'}_{2}-{t'}_{1}=5s$，求：
（1）$S'$相对于S的运动速度。
（2）乙测得这两个事件发生的地点的距离。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定时间间隔关系
根据题意，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为${t}_{2}-{t}_{1}=4s$，而乙测得这两个事件的时间间隔为$t{'}_{2}-{t'}_{1}=5s$。由于这两个事件在S系中是同时发生的，因此在S系中它们的空间间隔为零，即${x}_{2}-{x}_{1}=0$。
步骤 2：应用洛伦兹变换
根据洛伦兹变换公式，时间间隔在不同惯性参照系中的关系为：
${t}_{2}-{t}_{1}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(t{'}_{2}-{t'}_{1})$
将已知的时间间隔代入，得到：
$4=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\times5$
解这个方程，可以得到$v$的值。
步骤 3：计算速度
解方程$4=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\times5$，得到：
$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{4}{5}$
$1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{16}{25}$
$\frac{v^2}{c^2}=\frac{9}{25}$
$v=\frac{3}{5}c=0.6c$
其中$c$是光速，约为$3\times10^8m/s$，因此$v=0.6\times3\times10^8m/s=1.8\times10^8m/s$。
步骤 4：计算乙测得的事件发生的地点的距离
根据洛伦兹变换，空间间隔在不同惯性参照系中的关系为：
${x}_{2}-{x}_{1}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(x{'}_{2}-{x'}_{1})+v(t{'}_{2}-{t'}_{1})$
由于在S系中${x}_{2}-{x}_{1}=0$，因此：
$0=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(x{'}_{2}-{x'}_{1})+v(t{'}_{2}-{t'}_{1})$
解这个方程，可以得到$x{'}_{2}-{x'}_{1}$的值。
$x{'}_{2}-{x'}_{1}=-\frac{v(t{'}_{2}-{t'}_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
将$v=0.6c$和$t{'}_{2}-{t'}_{1}=5s$代入，得到：
$x{'}_{2}-{x'}_{1}=-\frac{0.6c\times5}{\frac{4}{5}}=-\frac{3c}{4}\times5=-\frac{3\times3\times10^8\times5}{4}=-1.125\times10^9m$
由于距离是正值，因此乙测得这两个事件发生的地点的距离为$1.125\times10^9m$。
根据题意，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为${t}_{2}-{t}_{1}=4s$，而乙测得这两个事件的时间间隔为$t{'}_{2}-{t'}_{1}=5s$。由于这两个事件在S系中是同时发生的，因此在S系中它们的空间间隔为零，即${x}_{2}-{x}_{1}=0$。
步骤 2：应用洛伦兹变换
根据洛伦兹变换公式，时间间隔在不同惯性参照系中的关系为：
${t}_{2}-{t}_{1}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(t{'}_{2}-{t'}_{1})$
将已知的时间间隔代入，得到：
$4=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\times5$
解这个方程，可以得到$v$的值。
步骤 3：计算速度
解方程$4=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\times5$，得到：
$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{4}{5}$
$1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{16}{25}$
$\frac{v^2}{c^2}=\frac{9}{25}$
$v=\frac{3}{5}c=0.6c$
其中$c$是光速，约为$3\times10^8m/s$，因此$v=0.6\times3\times10^8m/s=1.8\times10^8m/s$。
步骤 4：计算乙测得的事件发生的地点的距离
根据洛伦兹变换，空间间隔在不同惯性参照系中的关系为：
${x}_{2}-{x}_{1}=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(x{'}_{2}-{x'}_{1})+v(t{'}_{2}-{t'}_{1})$
由于在S系中${x}_{2}-{x}_{1}=0$，因此：
$0=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(x{'}_{2}-{x'}_{1})+v(t{'}_{2}-{t'}_{1})$
解这个方程，可以得到$x{'}_{2}-{x'}_{1}$的值。
$x{'}_{2}-{x'}_{1}=-\frac{v(t{'}_{2}-{t'}_{1})}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
将$v=0.6c$和$t{'}_{2}-{t'}_{1}=5s$代入，得到：
$x{'}_{2}-{x'}_{1}=-\frac{0.6c\times5}{\frac{4}{5}}=-\frac{3c}{4}\times5=-\frac{3\times3\times10^8\times5}{4}=-1.125\times10^9m$
由于距离是正值，因此乙测得这两个事件发生的地点的距离为$1.125\times10^9m$。