7、设函数f(x)连续，给出下列四个条件： ①lim_(xto0)(|f(x)|-f(0))/(x)存在； ②lim_(xto0)(f(x)-|f(0)|)/(x)存在； ③lim_(xto0)(|f(x)|)/(x)存在，int_(0)^1= ④lim_(xto0)(|f(x)|-|f(0)|)/(x)存在； 其中能得到“f(x)在x=0处可导”的条件个数是（）. (A.)1 (B.)2 (C.)3 (D.)4

为了确定哪些条件能得到“f(x)在x=0处可导”，我们需要分析每个条件并看它们是否意味着f(x)在x=0处的导数存在。函数f(x)在x=0处可导意味着极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$存在。 让我们逐一分析每个条件： ① $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - f(0)}{x}$存在。 - 如果 $f(0) > 0$，那么对于x足够接近0，$f(x)$也是正的（因为f是连续的），所以 $|f(x)| = f(x)$。因此，极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，这是 $f$ 在 $x=0$ 处的导数。 - 如果 $f(0) < 0$，那么对于x足够接近0，$f(x)$也是负的，所以 $|f(x)| = -f(x)$。因此，极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{-f(x) - f(0)}{x} = -\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + f(0)}{x}$。这个极限的存在并不一定意味着 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ 的存在。 - 如果 $f(0) = 0$，那么极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$。这个极限的存在并不一定意味着 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ 的存在（例如，考虑 $f(x) = x$ 对于 $x \geq 0$ 和 $f(x) = -x$ 对于 $x < 0$）。 因此，条件①并不一定意味着 $f$ 在 $x=0$ 处可导。 ② $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - |f(0)|}{x}$存在。 - 如果 $f(0) > 0$，那么 $|f(0)| = f(0)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，这是 $f$ 在 $x=0$ 处的导数。 - 如果 $f(0) < 0$，那么 $|f(0)| = -f(0)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + f(0)}{x}$。这个极限的存在并不一定意味着 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ 的存在。 - 如果 $f(0) = 0$，那么极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$，这是 $f$ 在 $x=0$ 处的导数。 因此，条件②并不一定意味着 $f$ 在 $x=0$ 处可导。 ③ $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$存在。 - 如果 $f(0) \neq 0$，那么 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近不改变符号，所以 $|f(x)|$ 要么是 $f(x)$ 要么是 $-f(x)$。在任一情况下，$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 的存在并不一定意味着 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$ 的存在。 - 如果 $f(0) = 0$，那么极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$。这个极限的存在并不一定意味着 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ 的存在（例如，考虑 $f(x) = x$ 对于 $x \geq 0$ 和 $f(x) = -x$ 对于 $x < 0$）。 因此，条件③并不一定意味着 $f$ 在 $x=0$ 处可导。 ④ $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - |f(0)|}{x}$存在。 - 如果 $f(0) > 0$，那么 $|f(0)| = f(0)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - f(0)}{x}$。对于 $x$ 足够接近0，$f(x)$ 是正的，所以 $|f(x)| = f(x)$。因此，极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，这是 $f$ 在 $x=0$ 处的导数。 - 如果 $f(0) < 0$，那么 $|f(0)| = -f(0)$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| + f(0)}{x}$。对于 $x$ 足够接近0，$f(x)$ 是负的，所以 $|f(x)| = -f(x)$。因此，极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{-f(x) + f(0)}{x} = -\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$，这是 $f$ 在 $x=0$ 处的导数的负数。 - 如果 $f(0) = 0$，那么极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$。这个极限的存在意味着 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ 的存在，因为 $|f(x)|/x$ 的极限存在意味着 $f(x)/x$ 的极限存在（因为 $f(x)/x$ 要么是 $|f(x)|/x$ 要么是 $-|f(x)|/x$）。 因此，条件④意味着 $f$ 在 $x=0$ 处可导。 唯一能得到“f(x)在x=0处可导”的条件是④。因此，答案是 $\boxed{A}$。