题目
已知二阶常系数非线性微分方程 y'' +4y' + 4y = e^x( 1 ) 求方程对应的齐次方程的通解 ; ( 2 ) 求方程的一个特解 ; ( 3 ) 求该方程的通解
已知二阶常系数非线性微分方程 y'' +4y' + 4y = 
( 1 ) 求方程对应的齐次方程的通解 ;
( 2 ) 求方程的一个特解 ;
( 3 ) 求该方程的通解
题目解答
答案
解：
(1)原方程对应齐次线性方程的特征方程为
即
(2)方程的一个特解
而k=1非特征值，令
代入原方程得， 
(3)该方程的通解
即
解析
步骤 1：求齐次方程的通解
首先，我们求解对应的齐次方程 y'' + 4y' + 4y = 0 的通解。为此，我们需要找到特征方程的根。
步骤 2：求非齐次方程的特解
接下来，我们求解非齐次方程 y'' + 4y' + 4y = e^x 的一个特解。为此，我们使用待定系数法。
步骤 3：求非齐次方程的通解
最后，我们结合齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
首先，我们求解对应的齐次方程 y'' + 4y' + 4y = 0 的通解。为此，我们需要找到特征方程的根。
步骤 2：求非齐次方程的特解
接下来，我们求解非齐次方程 y'' + 4y' + 4y = e^x 的一个特解。为此，我们使用待定系数法。
步骤 3：求非齐次方程的通解
最后，我们结合齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。