题目
8.设 A^2=A, 证明: A+E 可逆。
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用已知条件
已知 $A=A$，即矩阵 $A$ 是对称矩阵。我们需要证明矩阵 $A+E$ 可逆，其中 $E$ 是单位矩阵。
步骤 2：构造等式
根据已知条件，我们有 $A-A-2E=-2E$。接下来，我们构造一个等式来表示 $(A+E)$ 和 $(A-2E)$ 的乘积：
$$(A+E)(A-2E)=-2E$$
步骤 3：证明可逆性
为了证明 $A+E$ 可逆，我们需要找到一个矩阵 $B$，使得 $(A+E)B=E$。根据步骤 2 中的等式，我们可以得到：
$$(A+E)(\dfrac {2E-A}{2E})=E$$
这表明矩阵 $\dfrac {2E-A}{2E}$ 是矩阵 $A+E$ 的逆矩阵。
已知 $A=A$，即矩阵 $A$ 是对称矩阵。我们需要证明矩阵 $A+E$ 可逆，其中 $E$ 是单位矩阵。
步骤 2：构造等式
根据已知条件，我们有 $A-A-2E=-2E$。接下来，我们构造一个等式来表示 $(A+E)$ 和 $(A-2E)$ 的乘积：
$$(A+E)(A-2E)=-2E$$
步骤 3：证明可逆性
为了证明 $A+E$ 可逆，我们需要找到一个矩阵 $B$，使得 $(A+E)B=E$。根据步骤 2 中的等式，我们可以得到：
$$(A+E)(\dfrac {2E-A}{2E})=E$$
这表明矩阵 $\dfrac {2E-A}{2E}$ 是矩阵 $A+E$ 的逆矩阵。