题目
19.设V1与V2分别是齐次方程组 _(1)+(x)_(2)+... +(x)_(n)=0 与 _(1)=(x)_(2)=... =(x)_(n) 的解空间,证明: ^n=-|||-+11: --|||-20.证明:如果 =(V)_(1)+(V)_(2) ,_(1)=(V)_(11)oplus (V)_(12) ,那么 =(V)_(11) +V12+V2·-|||-21.证明:每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子六问小出和
题目解答
答案
[1] ${P}^{n}=V1+V2$
[2] $V = V_11 \oplus V_12 \oplus V_2$
[2] $V = V_11 \oplus V_12 \oplus V_2$
解析
步骤 1：定义解空间
- 齐次方程组 ${x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n}=0$ 的解空间 $V_1$ 包含所有满足该方程的向量。
- 齐次方程组 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$ 的解空间 $V_2$ 包含所有满足该方程的向量，即所有分量相等的向量。
步骤 2：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
- 假设存在非零向量 $\mathbf{v} \in V_1 \cap V_2$，则 $\mathbf{v}$ 同时满足 ${x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n}=0$ 和 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$。
- 由于 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$，设 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}=c$，则有 $nc=0$，即 $c=0$。
- 因此，$\mathbf{v} = (0, 0, \ldots, 0)$，即 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
步骤 3：证明 $V_1 + V_2 = \mathbb{P}^n$
- 对于任意 $\mathbf{v} \in \mathbb{P}^n$，设 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$。
- 定义 $\mathbf{v}_1 = (v_1 - \bar{v}, v_2 - \bar{v}, \ldots, v_n - \bar{v})$，其中 $\bar{v} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n v_i$。
- 定义 $\mathbf{v}_2 = (\bar{v}, \bar{v}, \ldots, \bar{v})$。
- 显然，$\mathbf{v}_1 \in V_1$，因为 $\sum_{i=1}^n (v_i - \bar{v}) = 0$。
- 显然，$\mathbf{v}_2 \in V_2$，因为所有分量相等。
- 且 $\mathbf{v} = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$，因此 $\mathbb{P}^n = V_1 + V_2$。
步骤 4：证明 $V = V_{11} + V_{12} + V_2$
- 由于 $V = V_1 + V_2$，且 $V_1 = V_{11} \oplus V_{12}$，则 $V = V_{11} + V_{12} + V_2$。
- 由于 $V_{11} \cap V_{12} = \{0\}$，则 $V_{11} + V_{12} = V_1$。
- 因此，$V = V_1 + V_2 = V_{11} + V_{12} + V_2$。
步骤 5：证明每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和
- 设 $V$ 是一个n维线性空间，取 $V$ 的一组基 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$。
- 定义 $V_i = \text{span}(\mathbf{v}_i)$，则 $V_i$ 是一维子空间。
- 显然，$V = V_1 + V_2 + \cdots + V_n$。
- 由于 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ 是线性无关的，因此 $V_i \cap V_j = \{0\}$ 对于 $i \neq j$。
- 因此，$V = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_n$。
- 齐次方程组 ${x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n}=0$ 的解空间 $V_1$ 包含所有满足该方程的向量。
- 齐次方程组 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$ 的解空间 $V_2$ 包含所有满足该方程的向量，即所有分量相等的向量。
步骤 2：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
- 假设存在非零向量 $\mathbf{v} \in V_1 \cap V_2$，则 $\mathbf{v}$ 同时满足 ${x}_{1}+{x}_{2}+\cdots +{x}_{n}=0$ 和 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$。
- 由于 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}$，设 ${x}_{1}={x}_{2}=\cdots ={x}_{n}=c$，则有 $nc=0$，即 $c=0$。
- 因此，$\mathbf{v} = (0, 0, \ldots, 0)$，即 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
步骤 3：证明 $V_1 + V_2 = \mathbb{P}^n$
- 对于任意 $\mathbf{v} \in \mathbb{P}^n$，设 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$。
- 定义 $\mathbf{v}_1 = (v_1 - \bar{v}, v_2 - \bar{v}, \ldots, v_n - \bar{v})$，其中 $\bar{v} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n v_i$。
- 定义 $\mathbf{v}_2 = (\bar{v}, \bar{v}, \ldots, \bar{v})$。
- 显然，$\mathbf{v}_1 \in V_1$，因为 $\sum_{i=1}^n (v_i - \bar{v}) = 0$。
- 显然，$\mathbf{v}_2 \in V_2$，因为所有分量相等。
- 且 $\mathbf{v} = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2$，因此 $\mathbb{P}^n = V_1 + V_2$。
步骤 4：证明 $V = V_{11} + V_{12} + V_2$
- 由于 $V = V_1 + V_2$，且 $V_1 = V_{11} \oplus V_{12}$，则 $V = V_{11} + V_{12} + V_2$。
- 由于 $V_{11} \cap V_{12} = \{0\}$，则 $V_{11} + V_{12} = V_1$。
- 因此，$V = V_1 + V_2 = V_{11} + V_{12} + V_2$。
步骤 5：证明每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和
- 设 $V$ 是一个n维线性空间，取 $V$ 的一组基 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$。
- 定义 $V_i = \text{span}(\mathbf{v}_i)$，则 $V_i$ 是一维子空间。
- 显然，$V = V_1 + V_2 + \cdots + V_n$。
- 由于 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ 是线性无关的，因此 $V_i \cap V_j = \{0\}$ 对于 $i \neq j$。
- 因此，$V = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_n$。