题目
设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为F_X(z), F_Y(z)，则Z=maxX,Y的分布函数为（）。A. maxF_X(z), F_Y(z);B. (1)/(2)(F_X(z)+ F_Y(z));C. F_X(z)F_Y(z);D. 以上结论都不对.
设随机变量$X$与$Y$相互独立，其分布函数分别为$F_X(z)$, $F_Y(z)$，则$Z=\max\{X,Y\}$的分布函数为（）。
A. $\max\{F_X(z), F_Y(z)\}$;
B. $\frac{1}{2}(F_X(z)+ F_Y(z))$;
C. $F_X(z)F_Y(z)$;
D. 以上结论都不对.
题目解答
答案
C. $F_X(z)F_Y(z)$;
解析
步骤 1：定义随机变量$Z$
设 $ Z = \max\{X, Y\} $，则 $ Z \leq z $ 当且仅当 $ X \leq z $ 且 $ Y \leq z $。
步骤 2：利用独立性
由于 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，有： \[ P(Z \leq z) = P(X \leq z) \cdot P(Y \leq z) = F_X(z) \cdot F_Y(z). \]
步骤 3：确定$Z$的分布函数
因此，$ Z $ 的分布函数为 $ F_X(z) \cdot F_Y(z) $。
设 $ Z = \max\{X, Y\} $，则 $ Z \leq z $ 当且仅当 $ X \leq z $ 且 $ Y \leq z $。
步骤 2：利用独立性
由于 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，有： \[ P(Z \leq z) = P(X \leq z) \cdot P(Y \leq z) = F_X(z) \cdot F_Y(z). \]
步骤 3：确定$Z$的分布函数
因此，$ Z $ 的分布函数为 $ F_X(z) \cdot F_Y(z) $。