溶液自深18cm，顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min。问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

考查要点：本题主要考查相关变化率的应用，涉及圆锥和圆柱体积公式的导数关系，以及体积变化率的守恒关系。

解题核心思路：

1. 建立体积与高度的关系：利用相似三角形确定圆锥漏斗中液体的半径与高度的比例，写出体积公式。
2. 求导得到变化率关系：对体积公式分别求导，得到漏斗和圆柱中体积随时间的变化率。
3. 体积守恒关系：漏斗中体积的减少量等于圆柱中体积的增加量，建立方程求解未知变化率。

破题关键点：

• 相似圆锥比例：漏斗中液体形成的小圆锥与原漏斗相似，半径与高度的比例为$1:3$。
• 体积变化率守恒：$\frac{dV_{\text{漏斗}}}{dt} = -\frac{dV_{\text{圆柱}}}{dt}$。

1. 建立体积与高度的关系

• 漏斗体积：
  漏斗为正圆锥，体积公式为$V_{\text{漏斗}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。
  由相似三角形，半径$r$与高度$h$满足$\frac{r}{h} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$，即$r = \frac{h}{3}$。
  代入得：
  $V_{\text{漏斗}} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi}{27} h^3.$

• 圆柱体积：
  圆柱直径为$10\ \text{cm}$，半径$R = 5\ \text{cm}$，体积为：
  $V_{\text{圆柱}} = \pi R^2 H = 25\pi H,$
  其中$H$为圆柱中液面高度。

2. 求导得到变化率关系

• 漏斗体积变化率：
  对$V_{\text{漏斗}} = \frac{\pi}{27} h^3$求导得：
  $\frac{dV_{\text{漏斗}}}{dt} = \frac{\pi}{27} \cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{9} \cdot \frac{dh}{dt}.$

• 圆柱体积变化率：
  对$V_{\text{圆柱}} = 25\pi H$求导得：
  $\frac{dV_{\text{圆柱}}}{dt} = 25\pi \cdot \frac{dH}{dt}.$

3. 建立体积守恒方程

漏斗中体积减少等于圆柱中体积增加：
$\frac{dV_{\text{漏斗}}}{dt} = -\frac{dV_{\text{圆柱}}}{dt}.$
代入变化率表达式：
$\frac{\pi h^2}{9} \cdot \frac{dh}{dt} = -25\pi \cdot \frac{dH}{dt}.$
约去$\pi$并整理得：
$\frac{h^2}{9} \cdot \frac{dh}{dt} = -25 \cdot \frac{dH}{dt}.$

4. 代入已知条件求解

当$h = 12\ \text{cm}$时，$\frac{dh}{dt} = -1\ \text{cm/min}$（负号表示下降），代入方程：
$\frac{12^2}{9} \cdot (-1) = -25 \cdot \frac{dH}{dt}.$
计算得：
$\frac{144}{9} \cdot (-1) = -25 \cdot \frac{dH}{dt} \implies 16 \cdot (-1) = -25 \cdot \frac{dH}{dt} \implies \frac{dH}{dt} = \frac{16}{25} = 0.64\ \text{cm/min}.$