1.已知 '(x)=dfrac (1)(x(1+2ln x)) 且 f(1)=1, 则f(x)等于_ __-|||-A. ln (1+2ln x)+1 B. dfrac (1)(2)ln (1+2ln x)+1-|||-C. dfrac (1)(2)ln (1+2ln x)+dfrac (1)(2) D. ln (1+2ln x)+1

步骤 1：求原函数
已知 $f'(x)=\dfrac {1}{x(1+2\ln x)}$，我们可以通过积分求出原函数 $f(x)$。
步骤 2：积分计算
对 $f'(x)$ 积分，得到 $f(x)$。
$$
f(x) = \int \dfrac {1}{x(1+2\ln x)} dx
$$
令 $u = 1 + 2\ln x$，则 $du = \dfrac {2}{x} dx$，所以 $dx = \dfrac {x}{2} du$。
代入积分，得到：
$$
f(x) = \int \dfrac {1}{xu} \cdot \dfrac {x}{2} du = \dfrac {1}{2} \int \dfrac {1}{u} du = \dfrac {1}{2} \ln |u| + C = \dfrac {1}{2} \ln |1 + 2\ln x| + C
$$
步骤 3：确定常数C
根据条件 $f(1)=1$，代入 $x=1$，得到：
$$
f(1) = \dfrac {1}{2} \ln |1 + 2\ln 1| + C = \dfrac {1}{2} \ln 1 + C = C = 1
$$
所以，$C = 1$。