-18 一固有长度为4.0 m 的物体,若以速率0.60c 沿x 轴相对某惯性系运动,试问从该惯性系来测量,此物体的长度为多少?

本题包含两道物理题，分别考查狭义相对论中的长度收缩效应和光的多普勒效应。

第一题

本题考查狭义相对论中的长度收缩效应。解题思路是根据洛伦兹长度收缩公式，已知物体的固有长度和相对运动速率，代入公式即可求出在该惯性系中测量的物体长度。
设物体的固有长度为$l_0$，相对惯性系的运动速率为$v$，在该惯性系中测量的物体长度为$l$。根据洛伦兹长度收缩公式$l = l_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$，其中$c$为真空中的光速。
已知$l_0 = 4.0m$，$v = 0.60c$，将其代入公式可得：
$\begin{align*}l&= 4.0\times\sqrt{1 - \frac{(0.60c)^2}{c^2}}\\&= 4.0\times\sqrt{1 - 0.60^2}\\&= 4.0\times\sqrt{1 - 0.36}\\&= 4.0\times\sqrt{0.64}\\&= 4.0\times0.8\\&= 3.2m\end{align*}$

第二题

本题考查光的多普勒效应。解题思路是先根据光的多普勒效应频率公式推导出波长公式，再结合已知的临界波长求出飞船的最小速率，最后根据运动学关系求出飞船达到该速率所需的时间。

• 步骤一：推导波长公式
  当光源和观察者背向运动时，由光的多普勒效应频率公式$\nu = \nu_0(\frac{c - v}{c + v})^{\frac{1}{2}}$，又因为$\lambda=\frac{c}{\nu}$，$\lambda_0=\frac{c}{\nu_0}$，可得波长公式$\lambda = \lambda_0(\frac{c + v}{c - v})^{\frac{1}{2}}$，其中$v$为飞船相对地球的速率。
• 步骤二：求出飞船的最小速率$v$
  令$\lambda_0 = 620nm$，$\lambda = 760nm$，对$\lambda = \lambda_0(\frac{c + v}{c - v})^{\frac{1}{2}}$两边同时平方可得$\lambda^2 = \lambda_0^2\frac{c + v}{c - v}$，进一步变形为$\lambda^2(c - v) = \lambda_0^2(c + v)$，展开可得$\lambda^2c - \lambda^2v = \lambda_0^2c + \lambda_0^2v$，移项可得$\lambda^2c - \lambda_0^2c = \lambda_0^2v + \lambda^2v$，即$c(\lambda^2 - \lambda_0^2) = v(\lambda^2 + \lambda_0^2)$，所以$v = \frac{\lambda^2 - \lambda_0^2}{\lambda^2 + \lambda_0^2}c$。
  将$\lambda_0 = 620nm$，$\lambda = 760nm$代入可得：
  $\begin{align*}v&=\frac{760^2 - 620^2}{760^2 + 620^2}c\\&=\frac{(760 + 620)(760 - 620)}{760^2 + 620^2}c\\&=\frac{1380\times140}{760^2 + 620^2}c\\&=\frac{193200}{577600 + 384400}c\\&=\frac{193200}{962000}c\\&\approx 0.2c\\&= 0.2\times3\times10^8m/s\\&= 0.60\times10^8m/s\end{align*}$
• 步骤三：求出飞船达到该速率所需的时间$t$
  已知飞船的加速度$a = 9.8m/s^2$，根据运动学公式$v = at$，可得$t = \frac{v}{a}$，将$v = 0.60\times10^8m/s$，$a = 9.8m/s^2$代入可得：
  $t = \frac{0.60\times10^8}{9.8}s\approx 6.1\times10^6s$
  一年按$365$天计算，一天$24$小时，一小时$3600$秒，则一年的秒数为$365\times24\times3600s\approx 3.15\times10^7s$，所以$t\approx\frac{6.1\times10^6}{3.15\times10^7}a\approx 0.20a$。