题目
现有密度分别为p1和p2的两种液体，且p1＜p2.在甲杯中盛满这两种液体，两种液体的质量各占一半；在乙杯中也盛满这两种液体，两种液体的体积各占一半.假设两种液体之间不发生混合现象，甲、乙两个杯子也完全相同.则( ).A.甲杯内液体的质量大B.乙杯内液体的质量大C.两杯内液体的质量一样大D.无法确定
现有密度分别为p1和p2的两种液体，且p1＜p2.在甲杯中盛满这两种液体，两种液体的质量各占一半；在乙杯中也盛满这两种液体，两种液体的体积各占一半.假设两种液体之间不发生混合现象，甲、乙两个杯子也完全相同.则( ).
- A.甲杯内液体的质量大
- B.乙杯内液体的质量大
- C.两杯内液体的质量一样大
- D.无法确定
题目解答
答案
解：模型1即为甲杯：由于ρ1＜ρ2，两种液体的质量且各占一半．可得密度ρ1的液体体积大于密度ρ2的液体，密度ρ1的液体体积用灰标记，密度ρ2的液体体积用蓝色标记．
模型2即为乙杯：两种液体体积相等，密度ρ1的液体体积用灰标记，密度ρ2的液体体积用蓝色标记．
对照组体现体积相等时之间的分界线．
对模型1密度ρ1的液体体积进行处理，切割成和模型2中密度ρ1的液体体积相同，即是容器体积的一半(如图所示)．对模型2中密度ρ2的液体体积进行处理，切割成和模型1中密度ρ2的液体体积相同(如图所示)，经过处理便可以直接从对比处比较甲、乙两杯内液体质量的大小了，答案很明显是对比处是蓝色的乙杯大．即乙杯内液体的质量大．
故选B．
密度是中考和竞赛都非常喜欢考的类型知识，这块知识点可难可易，涵盖面比较广．密度让初中生去理解本身就带有些抽象，所以有关密度的题型亟待化抽象为具体，通过建构模型使抽象复杂的问题变得简单明了，本题采用对比模型法．
解析
步骤 1：定义变量
设甲杯中两种液体的质量各为m，乙杯中两种液体的体积各为V。由于甲杯和乙杯完全相同，它们的总体积相同，记为V_total。
步骤 2：计算甲杯中液体的总体积
甲杯中两种液体的质量各为m，密度分别为p1和p2。因此，甲杯中密度为p1的液体体积为V1 = m / p1，密度为p2的液体体积为V2 = m / p2。甲杯中液体的总体积为V_total = V1 + V2 = m / p1 + m / p2。
步骤 3：计算乙杯中液体的总质量
乙杯中两种液体的体积各为V，密度分别为p1和p2。因此，乙杯中密度为p1的液体质量为m1 = p1 * V，密度为p2的液体质量为m2 = p2 * V。乙杯中液体的总质量为m_total = m1 + m2 = p1 * V + p2 * V = V * (p1 + p2)。
步骤 4：比较甲杯和乙杯中液体的总质量
由于甲杯和乙杯的总体积相同，即V_total = V，因此甲杯中液体的总质量为m_total = m + m = 2m。乙杯中液体的总质量为m_total = V * (p1 + p2)。由于p1 < p2，因此V * (p1 + p2) > 2m，即乙杯中液体的总质量大于甲杯中液体的总质量。
设甲杯中两种液体的质量各为m，乙杯中两种液体的体积各为V。由于甲杯和乙杯完全相同，它们的总体积相同，记为V_total。
步骤 2：计算甲杯中液体的总体积
甲杯中两种液体的质量各为m，密度分别为p1和p2。因此，甲杯中密度为p1的液体体积为V1 = m / p1，密度为p2的液体体积为V2 = m / p2。甲杯中液体的总体积为V_total = V1 + V2 = m / p1 + m / p2。
步骤 3：计算乙杯中液体的总质量
乙杯中两种液体的体积各为V，密度分别为p1和p2。因此，乙杯中密度为p1的液体质量为m1 = p1 * V，密度为p2的液体质量为m2 = p2 * V。乙杯中液体的总质量为m_total = m1 + m2 = p1 * V + p2 * V = V * (p1 + p2)。
步骤 4：比较甲杯和乙杯中液体的总质量
由于甲杯和乙杯的总体积相同，即V_total = V，因此甲杯中液体的总质量为m_total = m + m = 2m。乙杯中液体的总质量为m_total = V * (p1 + p2)。由于p1 < p2，因此V * (p1 + p2) > 2m，即乙杯中液体的总质量大于甲杯中液体的总质量。