求下列函数的导数:-|||-(1) =arcsin (sin x);-|||-(2) =arctan dfrac (1+x)(1-x);-|||-(3) =ln tan dfrac (x)(2)-cos xcdot ln tan x;-|||-(4) =ln ((e)^x+sqrt (1+{e)^2x});-|||-(5) =(x)^dfrac (1{x)}(xgt 0).

1. 反三角函数复合函数求导：需注意反三角函数的导数公式及复合函数的链式法则。
2. 分式函数与反三角函数复合：利用导数公式结合分式求导法则。
3. 对数函数与三角函数复合：需应用链式法则和乘积法则，注意化简三角恒等式。
4. 复合对数函数求导：通过链式法则结合指数函数和根式函数的导数。
5. 幂指函数求导：采用对数求导法简化运算。

第（1）题

反三角函数导数公式

$\frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'$，其中$u = \sin x$。

链式法则应用

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 x}} \cdot \cos x$。

化简

$\sqrt{1 - \sin^2 x} = |\cos x|$，但题目未限制$x$范围，默认结果保留根号形式。

第（2）题

反三角函数导数公式

$\frac{d}{dx} \arctan u = \frac{1}{1 + u^2} \cdot u'$，其中$u = \frac{1 + x}{1 - x}$。

分式求导

$u' = \frac{(1)(1 - x) - (1 + x)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2}$。

代入公式

$y' = \frac{1}{1 + \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2} \cdot \frac{2}{(1 - x)^2}$。

化简

分母通分后为$\frac{(1 - x)^2 + (1 + x)^2}{(1 - x)^2} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x)^2}$，最终$y' = 1$。

第（3）题

第一项求导

$\frac{d}{dx} \ln \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sin x}$。

第二项求导（乘积法则）

$\frac{d}{dx} [\cos x \cdot \ln \tan x] = -\sin x \cdot \ln \tan x + \cos x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$。

化简第二项

$\cos x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x}$。

合并结果

$y' = \frac{1}{\sin x} - \sin x \cdot \ln \tan x - \frac{1}{\sin x} = -\sin x \cdot \ln \tan x$。

第（4）题

复合函数导数

$y' = \frac{1}{e^x + \sqrt{1 + e^{2x}}} \cdot \left( e^x + \frac{e^{2x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \right)$。

提取公因子

$e^x \left( 1 + \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \right) = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$。

第（5）题

对数化简

$\ln y = \frac{\ln x}{x}$。

求导并整理

$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$，故$y' = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{\frac{1}{x} - 2} (1 - \ln x)$。