题目
已知lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0，则下列结论正确的个数为lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0当lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0时，lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0若lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0则lim _(xarrow {x)_(0)}varphi (x)=0
已知
，则下列结论正确的个数为
当
时，
若
则
题目解答
答案
选项:由于，可以使用
，此时
则
选项正确
选项:符合
正确
选项由复合函数连续性可知
正确
故
均正确，所以填
解析
步骤 1：分析选项(A)
由于$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}\varphi (x)=0$，可以使用$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，此时$\sin \varphi (x)\sim \varphi (x)$，因此$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}\dfrac {\sin \varphi (x)}{\varphi (x)}=1$。
步骤 2：分析选项(B)
选项(B) $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ 1+\varphi (x)] \dfrac {1}{\varphi (x)}=e$符合$\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}=\lim _{x\rightarrow 0}{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}=e$，因此正确。
步骤 3：分析选项(C)
当$x\rightarrow {x}_{0}$时，$\sin \varphi (x)\sim \varphi (x)$，因此选项(C)正确。
步骤 4：分析选项(D)
由复合函数连续性可知，若$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(u)=A$，则$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f[ \varphi (x)] =A$，因此选项(D)正确。
由于$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}\varphi (x)=0$，可以使用$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，此时$\sin \varphi (x)\sim \varphi (x)$，因此$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}\dfrac {\sin \varphi (x)}{\varphi (x)}=1$。
步骤 2：分析选项(B)
选项(B) $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}[ 1+\varphi (x)] \dfrac {1}{\varphi (x)}=e$符合$\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\dfrac {1}{x})}^{x}=\lim _{x\rightarrow 0}{(1+x)}^{\dfrac {1}{x}}=e$，因此正确。
步骤 3：分析选项(C)
当$x\rightarrow {x}_{0}$时，$\sin \varphi (x)\sim \varphi (x)$，因此选项(C)正确。
步骤 4：分析选项(D)
由复合函数连续性可知，若$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(u)=A$，则$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f[ \varphi (x)] =A$，因此选项(D)正确。