10、设Xsim P(lambda)，4P(X=2)=P(X≤1)，则P(X=3)=____

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率计算及方程求解能力。
解题思路：

1. 利用泊松分布的概率公式，分别写出$P\{X=2\}$和$P\{X \leq 1\}$的表达式；
2. 建立方程：根据条件$4P\{X=2\} = P\{X \leq 1\}$，代入公式并化简；
3. 解二次方程求出参数$\lambda$；
4. 代入公式计算$P\{X=3\}$的值。
   关键点：正确写出泊松分布的概率表达式，处理方程时注意消去公共因子$e^{-\lambda}$，并舍去不符合实际的负根。

泊松分布的概率质量函数为：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots$

根据题意：

1. 计算$P\{X=2\}$：
   $P(X=2) = \frac{\lambda^2}{2!} e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2}{2} e^{-\lambda}$

2. 计算$P\{X \leq 1\}$：
   $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = \left( \frac{\lambda^0}{0!} + \frac{\lambda^1}{1!} \right) e^{-\lambda} = (1 + \lambda) e^{-\lambda}$

3. 建立方程：
   $4 \cdot \frac{\lambda^2}{2} e^{-\lambda} = (1 + \lambda) e^{-\lambda}$
   两边同时除以$e^{-\lambda}$（非零）得：
   $2\lambda^2 = 1 + \lambda \implies 2\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$

4. 解二次方程：
   $\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$
   解得$\lambda = 1$（舍去负根$\lambda = -\frac{1}{2}$）。

5. 计算$P\{X=3\}$：
   $P(X=3) = \frac{1^3}{3!} e^{-1} = \frac{1}{6e}$