题目
(本题8分) 设二维随机变量X和Y的联合概率密度为f(x,y)= dfrac {1)(4pi ),(x)^2+(y)^2leqslant 4 .求(1) X和Y的边缘概率密度f(x,y)= dfrac {1)(4pi ),(x)^2+(y)^2leqslant 4 . (2) X和Y是否相互独立。
(本题8分) 设二维随机变量X和Y的联合概率密度为
求(1) X和Y的边缘概率密度
(2) X和Y是否相互独立。
题目解答
答案
解:(1)
---5分
(2) 由于在测度非零的区域
上有
,故X和Y不相互独立.—8分
解析
步骤 1：计算边缘概率密度${f}_{x}(x)$
为了计算边缘概率密度${f}_{x}(x)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$关于$y$进行积分。由于$f(x,y)$在${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$的区域内为$\dfrac {1}{4\pi }$，在其他区域为0，因此积分的上下限为$-\sqrt{4-x^2}$到$\sqrt{4-x^2}$。
步骤 2：计算边缘概率密度${f}_{Y}(y)$
为了计算边缘概率密度${f}_{Y}(y)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$关于$x$进行积分。由于$f(x,y)$在${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$的区域内为$\dfrac {1}{4\pi }$，在其他区域为0，因此积分的上下限为$-\sqrt{4-y^2}$到$\sqrt{4-y^2}$。
步骤 3：判断X和Y是否相互独立
为了判断X和Y是否相互独立，我们需要检查${f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$是否等于$f(x,y)$。如果在${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$的区域内，${f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$不等于$f(x,y)$，则X和Y不相互独立。
为了计算边缘概率密度${f}_{x}(x)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$关于$y$进行积分。由于$f(x,y)$在${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$的区域内为$\dfrac {1}{4\pi }$，在其他区域为0，因此积分的上下限为$-\sqrt{4-x^2}$到$\sqrt{4-x^2}$。
步骤 2：计算边缘概率密度${f}_{Y}(y)$
为了计算边缘概率密度${f}_{Y}(y)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$关于$x$进行积分。由于$f(x,y)$在${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$的区域内为$\dfrac {1}{4\pi }$，在其他区域为0，因此积分的上下限为$-\sqrt{4-y^2}$到$\sqrt{4-y^2}$。
步骤 3：判断X和Y是否相互独立
为了判断X和Y是否相互独立，我们需要检查${f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$是否等于$f(x,y)$。如果在${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4$的区域内，${f}_{x}(x){f}_{Y}(y)$不等于$f(x,y)$，则X和Y不相互独立。