1.求下列函数的全微分:-|||-(1) =xy+dfrac (x)(y);

全微分的计算需要分别求出函数对每个自变量的偏导数，再与对应的自变量的微分相乘后相加。本题中，函数$z=xy+\dfrac{x}{y}$包含两个变量$x$和$y$，因此需要分别计算$\dfrac{\partial z}{\partial x}$和$\dfrac{\partial z}{\partial y}$，最终组合成全微分$dz$。

关键步骤：

1. 对$x$求偏导：将$y$视为常数，分别对$xy$和$\dfrac{x}{y}$求导。
2. 对$y$求偏导：将$x$视为常数，分别对$xy$和$\dfrac{x}{y}$求导。
3. 组合结果：将偏导数分别乘以$dx$和$dy$后相加。

第（1）题

步骤1：计算$\dfrac{\partial z}{\partial x}$

函数$z=xy+\dfrac{x}{y}$中：

• 第一项$xy$：对$x$求导得$y$。
• 第二项$\dfrac{x}{y}$：对$x$求导得$\dfrac{1}{y}$。

因此：
$\dfrac{\partial z}{\partial x} = y + \dfrac{1}{y}$

步骤2：计算$\dfrac{\partial z}{\partial y}$

函数$z=xy+\dfrac{x}{y}$中：

• 第一项$xy$：对$y$求导得$x$。
• 第二项$\dfrac{x}{y}$：可写为$x \cdot y^{-1}$，对$y$求导得$x \cdot (-1)y^{-2} = -\dfrac{x}{y^2}$。

因此：
$\dfrac{\partial z}{\partial y} = x - \dfrac{x}{y^2}$

步骤3：组合全微分

根据全微分公式：
$dz = \dfrac{\partial z}{\partial x} dx + \dfrac{\partial z}{\partial y} dy$

代入偏导数结果：
$dz = \left( y + \dfrac{1}{y} \right) dx + \left( x - \dfrac{x}{y^2} \right) dy$