题目
已知双曲线Γ：((x)^2)/((a)^2)-((y)^2)/((b)^2)=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A1（-1，0）、A2（1，0），离心率为2，过点F（2，0）斜率不为0的直线l与Γ交于P、Q两点．（1）求双曲线Γ的渐近线方程；（2）记直线A1P、A2Q的斜率分别为k1，k2，求证：((k)_(1))/((k)_{2)}为定值．
已知双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A1（-1，0）、A2（1，0），离心率为2，过点F（2，0）斜率不为0的直线l与Γ交于P、Q两点．
（1）求双曲线Γ的渐近线方程；
（2）记直线A1P、A2Q的斜率分别为k1，k2，求证：$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$为定值．
（1）求双曲线Γ的渐近线方程；
（2）记直线A1P、A2Q的斜率分别为k1，k2，求证：$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$为定值．
题目解答
答案
解：（1）设双曲线Γ的半焦距为c，由题意可知a=1，e=$\frac{c}{a}$=2，b2=c2-a2=3，
在双曲线Γ的方程为x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，点P，Q的坐标分别为（2，3）和（2，-3），
当k1=1时，k2=-3，当k1=-1时，k2=3，此时$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），
将直线l代入双曲线方程得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，
所以x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}$，
3k1+k2=$\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{3k（{x}_{1}-2）}{{x}_{1}+1}$+$\frac{k（{x}_{2}-2）}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k[3（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-1）+（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-2）]}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{k[4{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}$，
∵4x1x2-5（x1+x2）+4=$\frac{4（4{k}^{2}+3）-20{k}^{2}+4（{k}^{2}-3）}{{k}^{2}-3}$=0，
∴3k1+k2=0，∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$，∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$为定值．
在双曲线Γ的方程为x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，点P，Q的坐标分别为（2，3）和（2，-3），
当k1=1时，k2=-3，当k1=-1时，k2=3，此时$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），
将直线l代入双曲线方程得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，
所以x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，x1x2=$\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}$，
3k1+k2=$\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{3k（{x}_{1}-2）}{{x}_{1}+1}$+$\frac{k（{x}_{2}-2）}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k[3（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-1）+（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-2）]}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{k[4{x}_{1}{x}_{2}-5（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}-1）}$，
∵4x1x2-5（x1+x2）+4=$\frac{4（4{k}^{2}+3）-20{k}^{2}+4（{k}^{2}-3）}{{k}^{2}-3}$=0，
∴3k1+k2=0，∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$，∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$为定值．
解析
步骤 1：确定双曲线的参数
由题意，双曲线的左、右顶点分别为A_1（-1，0）和A_2（1，0），所以a=1。离心率e=2，即$\frac{c}{a}=2$，所以c=2。根据双曲线的性质，$c^2=a^2+b^2$，代入a和c的值，得到$4=1+b^2$，从而$b^2=3$。
步骤 2：求双曲线的渐近线方程
双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。将a=1和b=$\sqrt{3}$代入，得到渐近线方程为$y=\pm\sqrt{3}x$。
步骤 3：证明$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$为定值
设直线l的方程为$y=k(x-2)$，与双曲线方程联立，得到$(k^2-3)x^2-4k^2x+4k^2+3=0$。设P(x_1,y_1)，Q(x_2,y_2)，则$x_1+x_2=\frac{4k^2}{k^2-3}$，$x_1x_2=\frac{4k^2+3}{k^2-3}$。直线A_1P的斜率$k_1=\frac{y_1}{x_1+1}$，直线A_2Q的斜率$k_2=\frac{y_2}{x_2-1}$。将$y_1=k(x_1-2)$和$y_2=k(x_2-2)$代入，得到$k_1=\frac{k(x_1-2)}{x_1+1}$，$k_2=\frac{k(x_2-2)}{x_2-1}$。计算$\frac{k_1}{k_2}$，得到$\frac{k_1}{k_2}=-\frac{1}{3}$，为定值。
由题意，双曲线的左、右顶点分别为A_1（-1，0）和A_2（1，0），所以a=1。离心率e=2，即$\frac{c}{a}=2$，所以c=2。根据双曲线的性质，$c^2=a^2+b^2$，代入a和c的值，得到$4=1+b^2$，从而$b^2=3$。
步骤 2：求双曲线的渐近线方程
双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。将a=1和b=$\sqrt{3}$代入，得到渐近线方程为$y=\pm\sqrt{3}x$。
步骤 3：证明$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$为定值
设直线l的方程为$y=k(x-2)$，与双曲线方程联立，得到$(k^2-3)x^2-4k^2x+4k^2+3=0$。设P(x_1,y_1)，Q(x_2,y_2)，则$x_1+x_2=\frac{4k^2}{k^2-3}$，$x_1x_2=\frac{4k^2+3}{k^2-3}$。直线A_1P的斜率$k_1=\frac{y_1}{x_1+1}$，直线A_2Q的斜率$k_2=\frac{y_2}{x_2-1}$。将$y_1=k(x_1-2)$和$y_2=k(x_2-2)$代入，得到$k_1=\frac{k(x_1-2)}{x_1+1}$，$k_2=\frac{k(x_2-2)}{x_2-1}$。计算$\frac{k_1}{k_2}$，得到$\frac{k_1}{k_2}=-\frac{1}{3}$，为定值。