题目
设p(x),q(x )在 (-infty ,+infty ) 上连续,则方程 '+p(x)y'+q(x)y=0 的任一非零解 () .-|||-(A)没有零点-|||-(B)可以有零点,但在零点处,其导数必不为零-|||-(C)可以有零点,在零点处,此解的导数也可以为零-|||-(D)以上都不对
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解方程的性质
方程 $y''+p(x)y'+g(x)y=0$ 是一个二阶线性齐次微分方程。由于 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，方程的解在定义域内是光滑的，即解和其导数都是连续的。
步骤 2：分析解的零点
对于二阶线性齐次微分方程的解，如果存在一个零点，即 $y(x_0) = 0$，那么在该点处，解的导数 $y'(x_0)$ 可以为零，也可以不为零。这是因为方程的解在零点处的行为取决于方程的系数和解的性质，而不仅仅是零点的存在。
步骤 3：验证选项
(A) 没有零点：这不正确，因为方程的解可以有零点。
(B) 可以有零点，但在零点处，其导数必不为零：这不正确，因为解的导数在零点处可以为零。
(C) 可以有零点，在零点处，此解的导数也可以为零：这是正确的，因为解的导数在零点处可以为零。
(D) 以上都不对：这不正确，因为选项 (C) 是正确的。
方程 $y''+p(x)y'+g(x)y=0$ 是一个二阶线性齐次微分方程。由于 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，方程的解在定义域内是光滑的，即解和其导数都是连续的。
步骤 2：分析解的零点
对于二阶线性齐次微分方程的解，如果存在一个零点，即 $y(x_0) = 0$，那么在该点处，解的导数 $y'(x_0)$ 可以为零，也可以不为零。这是因为方程的解在零点处的行为取决于方程的系数和解的性质，而不仅仅是零点的存在。
步骤 3：验证选项
(A) 没有零点：这不正确，因为方程的解可以有零点。
(B) 可以有零点，但在零点处，其导数必不为零：这不正确，因为解的导数在零点处可以为零。
(C) 可以有零点，在零点处，此解的导数也可以为零：这是正确的，因为解的导数在零点处可以为零。
(D) 以上都不对：这不正确，因为选项 (C) 是正确的。