题目
已知线性方程组x1+2x3＝−1−x1+x2−3x3＝22x1−x2+5x3＝a，（1）求当a为何值时，方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）．
已知线性方程组x1+2x3＝−1−x1+x2−3x3＝22x1−x2+5x3＝a，（1）求当a为何值时，方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）．
题目解答
答案
由题意，.A＝102−1−11−322−15a 102−101−110−11a+2 102−101−11000a+3∴（1）当a+3≠0时，即a≠-3时，由于r(A)＜r(.A)，此时无解；当a+3=0时，即a=-3时，由于r(A)＝r(.A)，此时有解（2）由（1）知，当a=-3时，由于r(A)＝r(.A)=2＜3，此时有无穷多解取x3为自由变量，则x1＝−1−2x3x2＝3+x3令x3=k（k为任意常数），则通解为：x1x2x3＝−110+k−211
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵 .A＝102−1−11−322−15a ，并进行初等行变换，以求解方程组的解的情况。
步骤 2：进行初等行变换
通过初等行变换，将增广矩阵化简为阶梯形矩阵，得到 .A＝102−101−110−11a+2 。
步骤 3：进一步化简
继续进行初等行变换，得到 .A＝102−101−11000a+3 。
步骤 4：分析方程组的解的情况
根据阶梯形矩阵的性质，当 a+3≠0 时，即 a≠-3 时，由于 r(A)＜r(.A)，此时方程组无解；当 a+3=0 时，即 a=-3 时，由于 r(A)＝r(.A)，此时方程组有解。
步骤 5：求解方程组的解
当 a=-3 时，由于 r(A)＝r(.A)=2＜3，此时方程组有无穷多解。取 x3 为自由变量，则 x1＝−1−2x3 ， x2＝3+x3 。令 x3=k（k为任意常数），则通解为： x1x2x3＝−110+k−211 。
构造增广矩阵 .A＝102−1−11−322−15a ，并进行初等行变换，以求解方程组的解的情况。
步骤 2：进行初等行变换
通过初等行变换，将增广矩阵化简为阶梯形矩阵，得到 .A＝102−101−110−11a+2 。
步骤 3：进一步化简
继续进行初等行变换，得到 .A＝102−101−11000a+3 。
步骤 4：分析方程组的解的情况
根据阶梯形矩阵的性质，当 a+3≠0 时，即 a≠-3 时，由于 r(A)＜r(.A)，此时方程组无解；当 a+3=0 时，即 a=-3 时，由于 r(A)＝r(.A)，此时方程组有解。
步骤 5：求解方程组的解
当 a=-3 时，由于 r(A)＝r(.A)=2＜3，此时方程组有无穷多解。取 x3 为自由变量，则 x1＝−1−2x3 ， x2＝3+x3 。令 x3=k（k为任意常数），则通解为： x1x2x3＝−110+k−211 。