迭代矩阵的谱半径小于1是迭代法收敛的A. 充分条件，但不必要B. 充要条件C. 必要条件，但不充分D. 既非充分条件也非必要条件

迭代法收敛性的核心在于迭代矩阵的谱半径（即特征值绝对值的最大值）。本题考查谱半径与收敛条件的关系。

• 关键点：迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。
• 常见误区：需区分“充分条件”与“充要条件”，避免混淆谱半径与收敛性的双向关系。

充分性证明

若迭代矩阵的谱半径 $\rho(B) < 1$，则迭代法 $x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + c$ 必然收敛。
原因：谱半径小于1时，迭代矩阵的幂 $B^k$ 随 $k \to \infty$ 趋近于零矩阵，从而误差项的影响逐渐消失，迭代结果趋于稳定解。

必要性证明

若迭代法收敛，则必然有 $\rho(B) \leq 1$。但进一步分析可知：

• 当 $\rho(B) = 1$ 时，存在某些矩阵（如 Jordan 块矩阵）导致迭代发散。
• 因此，收敛要求 $\rho(B) < 1$，即谱半径小于1是必要条件。

结论：谱半径小于1既是迭代法收敛的充分条件，也是必要条件，故为充要条件。