题目

设随机变量 X_1, X_2, X_3 相互独立，且 X_1 sim E(1)，X_2 sim N(0,4)，X_3 sim P(2)。记 Y = X_1 - X_2 + 2X_3，则 D(Y) = _____。

设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，且 $X_1 \sim E(1)$，$X_2 \sim N(0,4)$，$X_3 \sim P(2)$。记 $Y = X_1 - X_2 + 2X_3$，则 $D(Y) = \_\_\_\_\_$。

题目解答

答案

已知 $X_1 \sim E(1)$，$X_2 \sim N(0, 4)$，$X_3 \sim P(2)$，且 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立。
方差性质：

  • $D(X_1) = \frac{1}{\lambda^2} = 1$（指数分布）
  • $D(X_2) = 4$（正态分布）
  • $D(X_3) = \lambda = 2$（泊松分布）

对于 $Y = X_1 - X_2 + 2X_3$，利用方差的线性组合性质：
$D(Y) = D(X_1) + D(-X_2) + D(2X_3) = D(X_1) + D(X_2) + 4D(X_3) = 1 + 4 + 8 = 13$

答案： $\boxed{13}$

解析

本题考查随机变量的方差性质以及常见分布的方差计算。解题思路如下：

  1. 首先，根据常见分布的方差公式，分别求出$X_1$、$X_2$、$X_3$的方差。
    • 对于指数分布$X_1\sim E(1)$，指数分布的概率密度函数为$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\gt0$，其方差公式为$D(X)=\frac{1}{\lambda^2}$，已知$\lambda = 1$，则$D(X_1)=\frac{1}{1^2}=1$。
    • 对于正态分布$X_2\sim N(0,4)$，正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的方差为$\sigma^2$，这里$\sigma^2 = 4$，所以$D(X_2)=4$。
    • 对于泊松分布$X_3\sim P(2)$，泊松分布的方差公式为$D(X)=\lambda$，已知$\lambda = 2$，则$D(X_3)=2$。
  2. 然后，利用方差的性质计算$D(Y)$。
    • 已知$Y = X_1 - X_2 + 2X_3$，根据方差的性质：若$X$、$Y$相互独立，则$D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$。
    • 对于$D(Y)=D(X_1 - X_2 + 2X_3)$，因为$X_1$、$X_2$、$X_3$相互独立，所以$D(Y)=D(X_1)+D(-X_2)+D(2X_3)$。
    • 再根据方差性质$D(-X_2)=(-1)^2D(X_2)=D(X_2)$，$D(2X_3)=2^2D(X_3)=4D(X_3)$。
    • 则$D(Y)=D(X_1)+D(X_2)+4D(X_3)$。
    • 把$D(X_1)=1$，$D(X_2)=4$，$D(X_3)=2$代入上式可得：$D(Y)=1 + 4+4\times2=1 + 4 + 8 = 13$。