[题目]一质点沿半径为1m的圆周运动,运动方-|||-程为 theta =2+3(t)^3 式中θ以rad计,t以s计,求:-|||-(1) t=2s 时,质点的切向和法向加速度;-|||-(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位-|||-移是多少?

考查要点：本题主要考查圆周运动中角速度、角加速度与线加速度的关系，以及加速度方向与半径夹角的条件应用。

解题思路：

1. 切向加速度与法向加速度的计算：通过运动方程求导得到角速度和角加速度，再结合半径计算切向加速度和法向加速度。
2. 加速度方向与半径夹角的条件：当加速度方向与半径成45°角时，法向加速度与切向加速度大小相等，建立方程求解时间，进而求角位移。

关键点：

• 角速度与角加速度的求导关系：$\omega = \frac{d\theta}{dt}$，$\alpha = \frac{d\omega}{dt}$。
• 加速度合成条件：当$a_n = a_t$时，总加速度方向与半径夹角为45°。

第（1）题

求角速度和角加速度

由运动方程$\theta = 2 + 3t^3$，对时间求导得：
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = 9t^2$
再对时间求导得角加速度：
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 18t$

计算切向加速度

切向加速度为：
$a_t = \alpha R = 18t \cdot 1 = 18t$
当$t=2\,\text{s}$时：
$a_t = 18 \cdot 2 = 36\,\text{m/s}^2$

计算法向加速度

法向加速度为：
$a_n = \omega^2 R = (9t^2)^2 \cdot 1 = 81t^4$
当$t=2\,\text{s}$时：
$a_n = 81 \cdot 2^4 = 1296\,\text{m/s}^2$

第（2）题

加速度方向条件

当加速度方向与半径成45°角时，法向加速度等于切向加速度：
$a_n = a_t \implies 81t^4 = 18t$

解方程求时间

整理方程：
$81t^4 - 18t = 0 \implies t(81t^3 - 18) = 0$
解得$t=0$（舍去）或：
$81t^3 = 18 \implies t^3 = \frac{2}{9}$

求角位移

代入运动方程：
$\theta = 2 + 3t^3 = 2 + 3 \cdot \frac{2}{9} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\,\text{rad}$