题目
18,计算 (int )_(1)^1dfrac (ydx-xdy)({x)^2+4(y)^2}, 其中L为 ^2+(y)^2=1 从点A(1,0)经过B(0,1)到 C(-1,0) 的曲线段.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分路径
积分路径L为单位圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 上从点A(1,0)经过B(0,1)到C(-1,0)的曲线段。这是一个半圆路径，方向为逆时针方向。
步骤 2：应用格林公式
格林公式：对于一个闭合曲线L，如果P(x,y)和Q(x,y)在L所围成的区域内具有连续的一阶偏导数，则有
${\int }_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\dfrac {\partial Q}{\partial x}-\dfrac {\partial P}{\partial y})dxdy$
其中D是L所围成的区域。对于本题，P(x,y) = y，Q(x,y) = -x，因此
$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=-1$，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=1$
所以，$\dfrac {\partial Q}{\partial x}-\dfrac {\partial P}{\partial y}=-2$
步骤 3：计算积分
由于L不是闭合曲线，我们需要构造一个闭合曲线L'，使得L' = L + L0，其中L0是从C(-1,0)到A(1,0)的直线段。这样，L'就围成了一个半圆区域D。根据格林公式，我们有
${\int }_{L'}ydx-xdy=\iint_{D}(-2)dxdy=-2\iint_{D}dxdy$
其中，$\iint_{D}dxdy$是半圆区域D的面积，即$\dfrac {1}{2}\pi$。因此，
${\int }_{L'}ydx-xdy=-2\cdot\dfrac {1}{2}\pi=-\pi$
由于L0的积分值为0（因为L0是直线段，且P(x,y) = y，Q(x,y) = -x），所以
${\int }_{L}ydx-xdy={\int }_{L'}ydx-xdy=-\pi$
积分路径L为单位圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 上从点A(1,0)经过B(0,1)到C(-1,0)的曲线段。这是一个半圆路径，方向为逆时针方向。
步骤 2：应用格林公式
格林公式：对于一个闭合曲线L，如果P(x,y)和Q(x,y)在L所围成的区域内具有连续的一阶偏导数，则有
${\int }_{L}Pdx+Qdy=\iint_{D}(\dfrac {\partial Q}{\partial x}-\dfrac {\partial P}{\partial y})dxdy$
其中D是L所围成的区域。对于本题，P(x,y) = y，Q(x,y) = -x，因此
$\dfrac {\partial Q}{\partial x}=-1$，$\dfrac {\partial P}{\partial y}=1$
所以，$\dfrac {\partial Q}{\partial x}-\dfrac {\partial P}{\partial y}=-2$
步骤 3：计算积分
由于L不是闭合曲线，我们需要构造一个闭合曲线L'，使得L' = L + L0，其中L0是从C(-1,0)到A(1,0)的直线段。这样，L'就围成了一个半圆区域D。根据格林公式，我们有
${\int }_{L'}ydx-xdy=\iint_{D}(-2)dxdy=-2\iint_{D}dxdy$
其中，$\iint_{D}dxdy$是半圆区域D的面积，即$\dfrac {1}{2}\pi$。因此，
${\int }_{L'}ydx-xdy=-2\cdot\dfrac {1}{2}\pi=-\pi$
由于L0的积分值为0（因为L0是直线段，且P(x,y) = y，Q(x,y) = -x），所以
${\int }_{L}ydx-xdy={\int }_{L'}ydx-xdy=-\pi$