题目

(intcos xdx)^prime=____.

$\left(\int\cos xdx\right)^{\prime}=$____.

题目解答

答案

要解决题目 $\left(\int\cos xdx\right)^{\prime}$，我们需要理解积分和求导之间的关系。具体来说，我们需要使用微积分基本定理，该定理指出，对函数进行积分然后求导将返回原函数。 以下是解题步骤： 1. 确定积分 $\int \cos x \, dx$。 $\cos x$ 的积分是 $\sin x + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，我们有： \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \] 2. 现在，我们需要对表达式 $\sin x + C$ 求导。 $\sin x + C$ 的导数是 $\cos x$，因为 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$，而常数 $C$ 的导数是 0。因此，我们有： \[ \left(\sin x + C\right)^{\prime} = \cos x \] 3. 因此，$\left(\int \cos x \, dx\right)^{\prime}$ 的值是 $\cos x$。 所以，答案是 $\boxed{\cos x}$。

解析

本题考查微积分基本定理的应用。解题的关键在于理解积分与求导是互逆运算，根据微积分基本定理，对一个函数先进行不定积分再求导，结果会回到原函数。

  1. 首先求$\int\cos xdx$的值：
    根据不定积分的基本公式，$\cos x$的不定积分是$\sin x + C$（$C$为积分常数），即$\int\cos xdx=\sin x + C$。
  2. 然后对$\sin x + C$求导：
    根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，常数的导数为$0$，即$C^\prime = 0$。
    根据求导的加法法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，对$\sin x + C$求导可得$(\sin x + C)^\prime=(\sin x)^\prime+C^\prime$。
    将$(\sin x)^\prime=\cos x$，$C^\prime = 0$代入上式，得到$(\sin x + C)^\prime=\cos x+0=\cos x$。
    所以$\left(\int\cos xdx\right)^\prime=\cos x$。