题目
iint_(Sigma) xzdydz + x^2ydzdx + y^2zdxdy，其中Sigma为抛物面z = x^2 + y^2，圆柱面x^2 + y^2 = 1和三个坐标面在第一卦限所围成的空间区域整个边界的外侧.A. -(pi)/(4)B. 0C. -(pi)/(8)D. (pi)/(8)
$\iint_{\Sigma} xzdydz + x^2ydzdx + y^2zdxdy$，其中$\Sigma$为抛物面$z = x^2 + y^2$，圆柱面$x^2 + y^2 = 1$和三个坐标面在第一卦限所围成的空间区域整个边界的外侧.
A. $-\frac{\pi}{4}$
B. $0$
C. $-\frac{\pi}{8}$
D. $\frac{\pi}{8}$
题目解答
答案
D. $\frac{\pi}{8}$
解析
步骤 1：应用高斯公式
根据高斯公式，将曲面积分转换为三重积分： \[ \iint\limits_{\Sigma} xz \, dy \, dz + x^2 y \, dz \, dx + y^2 z \, dx \, dy = \iiint\limits_{\Omega} (z + x^2 + y^2) \, dv \] 其中，$\Omega$ 为第一卦限内由抛物面 $z = x^2 + y^2$、圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 及坐标面围成的区域。
步骤 2：确定积分区域
在柱坐标系中，积分区域为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq z \leq r^2$，被积函数变为 $(z + r^2)r$。
步骤 3：计算三重积分
计算得： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \int_0^{r^2} (z + r^2)r \, dz \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{8} \]
根据高斯公式，将曲面积分转换为三重积分： \[ \iint\limits_{\Sigma} xz \, dy \, dz + x^2 y \, dz \, dx + y^2 z \, dx \, dy = \iiint\limits_{\Omega} (z + x^2 + y^2) \, dv \] 其中，$\Omega$ 为第一卦限内由抛物面 $z = x^2 + y^2$、圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 及坐标面围成的区域。
步骤 2：确定积分区域
在柱坐标系中，积分区域为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq z \leq r^2$，被积函数变为 $(z + r^2)r$。
步骤 3：计算三重积分
计算得： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \int_0^{r^2} (z + r^2)r \, dz \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{8} \]