17.已知一平面图形由曲线 =(e)^-2x, 以及其在点 (-dfrac (1)(2),e) 处的切线和y轴所围成,求该平-|||-面图形的面积.

步骤 1：求曲线 $y={e}^{-2t}$ 在点 $(-\dfrac {1}{2},e)$ 处的切线方程
曲线 $y={e}^{-2t}$ 的导数为 $y'=-2{e}^{-2t}$。在点 $(-\dfrac {1}{2},e)$ 处，导数为 $y'(-\dfrac {1}{2})=-2{e}^{-2(-\dfrac {1}{2})}=-2e$。因此，切线方程为 $y-e=-2e(t+\dfrac {1}{2})$，即 $y=-2et-e$。

步骤 2：确定平面图形的边界
平面图形由曲线 $y={e}^{-2t}$，切线 $y=-2et-e$ 和 y 轴所围成。切线与 y 轴的交点为 $(0,-e)$，因此平面图形的边界为 $t$ 从 $-\dfrac {1}{2}$ 到 $0$。

步骤 3：计算平面图形的面积
平面图形的面积可以通过计算曲线 $y={e}^{-2t}$ 和切线 $y=-2et-e$ 在 $t$ 从 $-\dfrac {1}{2}$ 到 $0$ 之间的积分差来得到。即
$$
S=\int_{-\frac{1}{2}}^{0}({e}^{-2t}-(-2et-e))dt
$$
$$
=\int_{-\frac{1}{2}}^{0}({e}^{-2t}+2et+e)dt
$$
$$
=\left[-\frac{1}{2}{e}^{-2t}+et^2+et\right]_{-\frac{1}{2}}^{0}
$$
$$
=\left(0+0+0\right)-\left(-\frac{1}{2}{e}^{-2(-\frac{1}{2})}+e(-\frac{1}{2})^2+e(-\frac{1}{2})\right)
$$
$$
=\frac{1}{2}e-\frac{1}{4}e-\frac{1}{2}e
$$
$$
=\frac{1}{4}e-\frac{1}{2}
$$