题目

6.填空题若函数y=xcdot ln x，dy=___

6.填空题 若函数$y=x\cdot \ln x$，$dy=___$

题目解答

答案

为了求函数 $ y = x \cdot \ln x $ 的微分 $ dy $，我们需要先求出函数的导数 $ \frac{dy}{dx} $，然后将导数乘以 $ dx $。 1. **求导数 $ \frac{dy}{dx} $:** 函数 $ y = x \cdot \ln x $ 是两个函数 $ x $ 和 $ \ln x $ 的乘积，因此我们使用乘积法则。乘积法则 states $ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' $，其中 $ u = x $ 和 $ v = \ln x $。 - $ u = x $ 的导数是 $ u' = 1 $。 - $ v = \ln x $ 的导数是 $ v' = \frac{1}{x} $。 应用乘积法则，我们得到: \[ \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] 2. **求微分 $ dy $:** 微分 $ dy $ 是导数 $ \frac{dy}{dx} $ 乘以 $ dx $: \[ dy = \left( \ln x + 1 \right) dx \] 因此，函数 $ y = x \cdot \ln x $ 的微分 $ dy $ 是 $\boxed{(\ln x + 1) dx}$。

解析

本题考查函数微分的计算，解题思路是先根据乘积法则求出函数的导数，再根据微分的定义求出函数的微分。

  1. 求函数$y = x\cdot\ln x$的导数$\frac{dy}{dx}$：
    • 因为函数$y = x\cdot\ln x$是由$u = x$和$v=\ln x$两个函数相乘得到的，根据乘积法则$(u\cdot v)^\prime=u^\prime\cdot v + u\cdot v^\prime$。
    • 对于$u = x$，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，这里$n = 1$，所以$u^\prime=(x)^\prime = 1$。
    • 对于$v=\ln x$，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，所以$v^\prime = \frac{1}{x}$。
    • 将$u^\prime = 1$，$v=\ln x$，$u = x$，$v^\prime=\frac{1}{x}$代入乘积法则公式可得：
      • $\frac{dy}{dx}=u^\prime\cdot v + u\cdot v^\prime=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}$。
      • 化简$1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}$，$x\times\frac{1}{x}=1$，所以$\frac{dy}{dx}=\ln x + 1$。
  2. 求函数$y = x\cdot\ln x$的微分$dy$：
    • 根据微分的定义$dy=\frac{dy}{dx}dx$。
    • 把$\frac{dy}{dx}=\ln x + 1$代入上式，可得$dy = (\ln x + 1)dx$。