题目
设sim b(2,p) sim pi (lambda )，sim b(2,p) sim pi (lambda )服从指数分布，sim b(2,p) sim pi (lambda )，且sim b(2,p) sim pi (lambda )相互独立，又sim b(2,p) sim pi (lambda )，则sim b(2,p) sim pi (lambda )________________，sim b(2,p) sim pi (lambda )_______________，sim b(2,p) sim pi (lambda )______________________。
设
，
服从指数分布，
，且
相互独立，又
，则
________________，
_______________，
______________________。
题目解答
答案
因为
，所以
，解得
，且
因为
，所以有
，所以
，于是可得
，且
，而因为服从指数分布，且，所以服从参数为
指数分布，所以
，又因为相互独立，于是有
，故答案为，，
解析
步骤 1：确定X的分布参数
由于$X\sim b(2,p)$，即X服从二项分布，且E(X)=1，根据二项分布的期望公式E(X)=np，可以得到$2p=1$，从而解得$p=\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：确定Y的分布参数
由于$Y\sim \pi (X)$，即Y服从泊松分布，且$P(Y=0)={e}^{-5}$，根据泊松分布的概率公式$P(Y=k)=\dfrac{{\lambda}^{k}}{k!}{e}^{-\lambda}$，可以得到$P(Y=0)=\dfrac{{\lambda}^{0}}{0!}{e}^{-\lambda}={e}^{-\lambda}={e}^{-5}$，从而解得$\lambda=5$。
步骤 3：计算D(X-2Y+Z)
由于X,Y,Z相互独立，根据方差的性质，可以得到$D(X-2Y+Z)=D(X)+4D(Y)+D(Z)$。根据二项分布的方差公式$D(X)=np(1-p)$，可以得到$D(X)=2p(1-p)=2\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。根据泊松分布的方差公式$D(Y)=\lambda$，可以得到$D(Y)=5$。根据指数分布的方差公式$D(Z)=\dfrac{1}{{\lambda}^{2}}$，可以得到$D(Z)=\dfrac{1}{{(\dfrac{1}{4})}^{2}}=16$。因此，$D(X-2Y+Z)=\dfrac{1}{2}+4\times5+16=36.5$。
由于$X\sim b(2,p)$，即X服从二项分布，且E(X)=1，根据二项分布的期望公式E(X)=np，可以得到$2p=1$，从而解得$p=\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：确定Y的分布参数
由于$Y\sim \pi (X)$，即Y服从泊松分布，且$P(Y=0)={e}^{-5}$，根据泊松分布的概率公式$P(Y=k)=\dfrac{{\lambda}^{k}}{k!}{e}^{-\lambda}$，可以得到$P(Y=0)=\dfrac{{\lambda}^{0}}{0!}{e}^{-\lambda}={e}^{-\lambda}={e}^{-5}$，从而解得$\lambda=5$。
步骤 3：计算D(X-2Y+Z)
由于X,Y,Z相互独立，根据方差的性质，可以得到$D(X-2Y+Z)=D(X)+4D(Y)+D(Z)$。根据二项分布的方差公式$D(X)=np(1-p)$，可以得到$D(X)=2p(1-p)=2\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。根据泊松分布的方差公式$D(Y)=\lambda$，可以得到$D(Y)=5$。根据指数分布的方差公式$D(Z)=\dfrac{1}{{\lambda}^{2}}$，可以得到$D(Z)=\dfrac{1}{{(\dfrac{1}{4})}^{2}}=16$。因此，$D(X-2Y+Z)=\dfrac{1}{2}+4\times5+16=36.5$。