3.设函数f(x)在点x0的某邻域内三阶可导,且 '((x)_(0))=0 '((x)_(0))=0 : ((x)_(0))neq 0 :-|||-则下列说法正确的是 () .-|||-(A)f(x0)是f(x)的极大值 (B)f(x0)是f(x)的极小值-|||-(C)(x0,f(x0))是曲线 y=f(x) 的拐点 (D)(x0,f(x0))不是曲线 y=f(x) 的拐点

考查要点：本题主要考查函数极值与拐点的判定条件，特别是高阶导数在判断中的应用。

解题核心思路：

1. 极值的判定：当一阶导数为零时，若二阶导数不为零，可判断极值；若二阶导数为零，则需进一步考察更高阶导数。偶数阶导数不为零时可能为极值点，奇数阶导数不为零则不是。
2. 拐点的判定：拐点存在的必要条件是二阶导数为零，且二阶导数在该点两侧变号。若三阶导数在该点不为零，则二阶导数一定变号，从而形成拐点。

破题关键：题目中给出$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)=0$，$f'''(x_0)\neq 0$，需结合高阶导数的性质分析极值与拐点的存在性。

极值的判断

• 一阶导数为零：$f'(x_0)=0$，说明$x_0$是驻点。
• 二阶导数为零：$f''(x_0)=0$，无法直接通过二阶导数符号判断极值。
• 三阶导数不为零：$f'''(x_0)\neq 0$，说明在$x_0$处，函数的三阶导数决定了二阶导数的变化趋势。由于三阶导数是奇数阶，其不为零会导致二阶导数在$x_0$附近不保持符号，因此$x_0$不是极值点。

拐点的判断

• 二阶导数为零：$f''(x_0)=0$，满足拐点的必要条件。
• 三阶导数不为零：$f'''(x_0)\neq 0$，说明二阶导数在$x_0$处的导数（即三阶导数）不为零，因此二阶导数在$x_0$附近会发生符号变化，从而导致曲线凹凸性改变。因此$(x_0, f(x_0))$是拐点。