题目
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=(9)/(16)，b=5，(a)/(c)=(2)/(3)．（1）求a的值；（2）求sinA的值；（3）求cos（B-2A）的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知cosB=$\frac{9}{16}$，b=5，$\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$．
（1）求a的值；
（2）求sinA的值；
（3）求cos（B-2A）的值．
（1）求a的值；
（2）求sinA的值；
（3）求cos（B-2A）的值．
题目解答
答案
解：（1）在△ABC中$，cosB=\frac{9}{16}$，b=5，$\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$，
设a=2k,则c=3k,k＞0，
∴cosB=$\frac{9{k}^{2}+4{k}^{2}-25}{2×3k×2k}$=$\frac{9}{16}$，
解得k=2，
∴a=2k=4；
（2）由（1）得a=4，c=6，sinB=$\sqrt{1-（\frac{9}{16}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{4}{sinA}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（3）∵a＜b,sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$=sin$\frac{π}{4}$，∴A是锐角，且A＜$\frac{π}{4}$，
∴sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{7}}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
cos2A=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{7}}{8}）^{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∴cos（B-2A）=cosBcos2A+sinBsin2A
=$\frac{9}{16}×\frac{1}{8}+\frac{5\sqrt{7}}{16}×\frac{3\sqrt{7}}{8}$
=$\frac{57}{64}$．
设a=2k,则c=3k,k＞0，
∴cosB=$\frac{9{k}^{2}+4{k}^{2}-25}{2×3k×2k}$=$\frac{9}{16}$，
解得k=2，
∴a=2k=4；
（2）由（1）得a=4，c=6，sinB=$\sqrt{1-（\frac{9}{16}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即$\frac{4}{sinA}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（3）∵a＜b,sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$=sin$\frac{π}{4}$，∴A是锐角，且A＜$\frac{π}{4}$，
∴sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{7}}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
cos2A=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{7}}{8}）^{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∴cos（B-2A）=cosBcos2A+sinBsin2A
=$\frac{9}{16}×\frac{1}{8}+\frac{5\sqrt{7}}{16}×\frac{3\sqrt{7}}{8}$
=$\frac{57}{64}$．
解析
步骤 1：求a的值
已知cosB=$\frac{9}{16}$，b=5，$\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$，设a=2k,则c=3k,k＞0。
根据余弦定理，cosB=$\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，代入已知条件，得到$\frac{9}{16}=\frac{4k^2+9k^2-25}{2×2k×3k}$，解得k=2，所以a=2k=4。
步骤 2：求sinA的值
由（1）得a=4，c=6，sinB=$\sqrt{1-（\frac{9}{16}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，根据正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，代入已知条件，得到$\frac{4}{sinA}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}$，解得sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$。
步骤 3：求cos（B-2A）的值
由（2）得sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，因为a＜b，所以A是锐角，且A＜$\frac{π}{4}$，所以sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{7}}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，cos2A=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{7}}{8}）^{2}}$=$\frac{1}{8}$，所以cos（B-2A）=cosBcos2A+sinBsin2A=$\frac{9}{16}×\frac{1}{8}+\frac{5\sqrt{7}}{16}×\frac{3\sqrt{7}}{8}$=$\frac{57}{64}$。
已知cosB=$\frac{9}{16}$，b=5，$\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$，设a=2k,则c=3k,k＞0。
根据余弦定理，cosB=$\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，代入已知条件，得到$\frac{9}{16}=\frac{4k^2+9k^2-25}{2×2k×3k}$，解得k=2，所以a=2k=4。
步骤 2：求sinA的值
由（1）得a=4，c=6，sinB=$\sqrt{1-（\frac{9}{16}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，根据正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，代入已知条件，得到$\frac{4}{sinA}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}$，解得sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$。
步骤 3：求cos（B-2A）的值
由（2）得sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，因为a＜b，所以A是锐角，且A＜$\frac{π}{4}$，所以sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{7}}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，cos2A=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{7}}{8}）^{2}}$=$\frac{1}{8}$，所以cos（B-2A）=cosBcos2A+sinBsin2A=$\frac{9}{16}×\frac{1}{8}+\frac{5\sqrt{7}}{16}×\frac{3\sqrt{7}}{8}$=$\frac{57}{64}$。