(14)二元函数 (x,y)=(x)^3+(y)^3+xy 的极值是 __ 且为极 __ 值.

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)={x}^{3}+{y}^{3}+xy$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
$$
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + y
$$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
$$
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 + x
$$
步骤 2：求驻点
接下来，我们需要找到函数的驻点，即偏导数同时为零的点。因此，我们需要解方程组：
$$
\begin{cases}
3x^2 + y = 0 \\
3y^2 + x = 0
\end{cases}
$$
解这个方程组，我们得到：
$$
\begin{cases}
y = -3x^2 \\
x = -3y^2
\end{cases}
$$
将 $y = -3x^2$ 代入 $x = -3y^2$，得到：
$$
x = -3(-3x^2)^2 = -27x^4
$$
解得 $x = 0$ 或 $x = -\frac{1}{3}$。当 $x = 0$ 时，$y = 0$；当 $x = -\frac{1}{3}$ 时，$y = -\frac{1}{3}$。因此，驻点为 $(0,0)$ 和 $(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$。
步骤 3：判断极值
为了判断这些驻点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用二阶偏导数的判别式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$。对于 $f(x,y)={x}^{3}+{y}^{3}+xy$，我们有：
$$
f_{xx} = 6x, \quad f_{yy} = 6y, \quad f_{xy} = 1
$$
对于驻点 $(0,0)$，我们有：
$$
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0 \cdot 0 - 1^2 = -1 < 0
$$
因此，$(0,0)$ 不是极值点。
对于驻点 $(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$，我们有：
$$
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 6(-\frac{1}{3}) \cdot 6(-\frac{1}{3}) - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0
$$
且 $f_{xx} = 6(-\frac{1}{3}) = -2 < 0$，因此，$(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$ 是极大值点。