2.按例4的方法求下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^xsin x-x(1+x)}({x)^3} ;-|||-(2) lim _(xarrow infty )[ x-(x)^2ln (1+dfrac (1)(x))] ;-|||-(3) lim _(xarrow 0)dfrac (1)(x)(dfrac (1)(x)-cot x) .

步骤 1：使用泰勒展开式
将 $e^x$ 和 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开为泰勒级数。
步骤 2：代入展开式
将展开式代入原极限表达式中。
步骤 3：化简
化简表达式，提取公因式，消去高阶无穷小。
步骤 4：计算极限
计算化简后的极限。
【答案】
$\dfrac {1}{3}$

(2) $\lim _{x\rightarrow \infty }[ x-{x}^{2}\ln (1+\dfrac {1}{x})] $ ;
【解析】
步骤 1：使用泰勒展开式
将 $\ln(1+\frac{1}{x})$ 在 $x=\infty$ 处展开为泰勒级数。
步骤 2：代入展开式
将展开式代入原极限表达式中。
步骤 3：化简
化简表达式，提取公因式，消去高阶无穷小。
步骤 4：计算极限
计算化简后的极限。
【答案】
$\dfrac {1}{2}$

(3) $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}(\dfrac {1}{x}-\cot x)$ .
【解析】
步骤 1：使用泰勒展开式
将 $\cot x$ 在 $x=0$ 处展开为泰勒级数。
步骤 2：代入展开式
将展开式代入原极限表达式中。
步骤 3：化简
化简表达式，提取公因式，消去高阶无穷小。
步骤 4：计算极限
计算化简后的极限。