题目

设P(A)=0.3，P(A∪B)=0.7，若A与B相互独立，则P(B)=____.

设P(A)=0.3，P(A∪B)=0.7，若A与B相互独立，则P(B)=____.

题目解答

答案

由题意，$A$与$B$相互独立，利用概率的加法公式： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ 代入已知值： $0.7 = 0.3 + P(B) - 0.3P(B)$ 整理得： $0.7 = 0.3 + 0.7P(B) \implies 0.4 = 0.7P(B) \implies P(B) = \frac{0.4}{0.7} = \frac{4}{7}$ 答案： $\boxed{\frac{4}{7}}$

解析

本题考查相互独立事件的概率以及概率的加法公式。解题思路如下：

  1. 首先明确相互独立事件的性质：若事件$A$与$B$相互独立，则$P(AB)=P(A)P(B)$。
  2. 然后根据概率的加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，结合$A$与$B$相互独立这一条件，将$P(AB)$替换为$P(A)P(B)$，得到$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$。
  3. 最后把已知的$P(A)=0.3$，$P(A\cup B)=0.7$代入上述公式，通过解方程求出$P(B)$的值。

具体计算过程如下：
已知$P(A)=0.3$，$P(A\cup B)=0.7$，且$A$与$B$相互独立，根据概率加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$，可得：
$0.7 = 0.3 + P(B) - 0.3P(B)$
对等式右边进行合并同类项：
$0.7 = 0.3 + (1 - 0.3)P(B)$
$0.7 = 0.3 + 0.7P(B)$
等式两边同时减去$0.3$：
$0.7 - 0.3 = 0.7P(B)$
$0.4 = 0.7P(B)$
等式两边同时除以$0.7$：
$P(B)=\frac{0.4}{0.7}=\frac{4}{7}$