题目
将xOy坐标面上的曲线x^2-2y^2=1绕y轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程是____.A. x^2-2y^2-2z^2=1B. x^2-2y^2-z^2=1C. x^2-2y^2+z^2=1D. x^2-2y^2+2z^2=1
将$xOy$坐标面上的曲线$x^{2}-2y^{2}=1$绕$y$轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程是____.
A. $x^{2}-2y^{2}-2z^{2}=1$
B. $x^{2}-2y^{2}-z^{2}=1$
C. $x^{2}-2y^{2}+z^{2}=1$
D. $x^{2}-2y^{2}+2z^{2}=1$
题目解答
答案
C. $x^{2}-2y^{2}+z^{2}=1$
解析
步骤 1：理解旋转曲面的生成过程
当一个 $xOy$ 坐标面上的曲线绕 $y$-轴旋转时，曲线上的每个点 $(x, y)$ 生成一个以 $y$-轴为中心、半径为 $|x|$ 的圆。这个圆位于一个与 $xOy$ 坐标面平行的平面内，其 $y$-坐标保持不变。在三维空间中，这个圆上的任何点的坐标可以表示为 $(x', y, z')$，其中 $x'^2 + z'^2 = x^2$。
步骤 2：将原方程转换为旋转曲面方程
将 $xOy$ 坐标面上的曲线 $x^2 - 2y^2 = 1$ 绕 $y$-轴旋转，我们用 $x^2 + z^2$ 替换 $x^2$。这样，方程变为： \[x^2 + z^2 - 2y^2 = 1\] 或者等价地， \[x^2 - 2y^2 + z^2 = 1\]
步骤 3：确定正确答案
根据上述推导，所得的旋转曲面的方程是 $x^2 - 2y^2 + z^2 = 1$，因此正确答案是选项 C。
当一个 $xOy$ 坐标面上的曲线绕 $y$-轴旋转时，曲线上的每个点 $(x, y)$ 生成一个以 $y$-轴为中心、半径为 $|x|$ 的圆。这个圆位于一个与 $xOy$ 坐标面平行的平面内，其 $y$-坐标保持不变。在三维空间中，这个圆上的任何点的坐标可以表示为 $(x', y, z')$，其中 $x'^2 + z'^2 = x^2$。
步骤 2：将原方程转换为旋转曲面方程
将 $xOy$ 坐标面上的曲线 $x^2 - 2y^2 = 1$ 绕 $y$-轴旋转，我们用 $x^2 + z^2$ 替换 $x^2$。这样，方程变为： \[x^2 + z^2 - 2y^2 = 1\] 或者等价地， \[x^2 - 2y^2 + z^2 = 1\]
步骤 3：确定正确答案
根据上述推导，所得的旋转曲面的方程是 $x^2 - 2y^2 + z^2 = 1$，因此正确答案是选项 C。