设 M=int_(-(pi)/(2))^(pi)/(2) (sin x)/(1+x^2) cos^4 x dx，N=int_(-(pi)/(2))^(pi)/(2) (sin^3 x + cos^4 x)dx，P=int_(-(pi)/(2))^(pi)/(2) (x^2 sin^3 x - cos^4 x)dx，则（）A. N B. M C. N D. P

考查要点：本题主要考查对称区间上的积分性质，特别是奇偶函数的积分特性。需要学生能够快速判断被积函数的奇偶性，并利用对称区间积分的性质简化计算。

解题核心思路：

1. 判断被积函数的奇偶性：若被积函数为奇函数，对称区间积分结果为0；若为偶函数，积分可转化为两倍的半区间积分。
2. 拆分积分项：将复杂的积分拆分为多个简单项的积分，分别判断每一项的奇偶性。
3. 比较积分结果的符号与大小：通过奇偶性分析确定各积分的正负，进而比较大小。

破题关键点：

• M的被积函数为奇函数，直接得$M=0$。
• N中$\sin^3 x$为奇函数，积分结果为0，$\cos^4 x$为偶函数，积分结果为正。
• P中$x^2 \sin^3 x$为奇函数，积分结果为0，$-\cos^4 x$为负偶函数，积分结果为负。

计算$M$

被积函数为$\frac{\sin x}{1+x^2} \cos^4 x$：

• $\sin x$是奇函数，$\cos^4 x$是偶函数，$1+x^2$是偶函数。
• 奇函数$\cdot$偶函数$\div$偶函数仍为奇函数。
• 积分区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$对称，奇函数在对称区间积分结果为0，故$M=0$。

计算$N$

被积函数为$\sin^3 x + \cos^4 x$：

1. $\sin^3 x$部分：
   • $\sin^3 x$是奇函数，对称区间积分结果为0。
2. $\cos^4 x$部分：
   • $\cos^4 x$是偶函数，积分可化简为$2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x \, dx$。
   • $\cos^4 x$在$[0, \frac{\pi}{2}]$上非负，故积分结果为正数，即$N > 0$。

计算$P$

被积函数为$x^2 \sin^3 x - \cos^4 x$：

1. $x^2 \sin^3 x$部分：
   • $x^2$是偶函数，$\sin^3 x$是奇函数，偶函数$\cdot$奇函数为奇函数。
   • 对称区间积分结果为0。
2. $-\cos^4 x$部分：
   • $-\cos^4 x$是负偶函数，积分可化简为$-2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x \, dx$。
   • $\cos^4 x$在$[0, \frac{\pi}{2}]$上非负，故积分结果为负数，即$P < 0$。

结论：$P < M < N$，对应选项D。