4/14 文件题(分值10.0分，难度：易)【20】计算二重积分 iintlimits_(D)(x^2+sin xcos y)dxdy，其中D是由直线y=1-x与y=1+x及x轴所围成的闭区域.

为了计算二重积分 $\iint\limits_{D}(x^{2}+\sin x\cos y)\,dxdy$，其中 $D$ 是由直线 $y=1-x$，$y=1+x$ 和 $x$-轴所围成的闭区域，我们将按照以下步骤进行： 1. **确定积分区域 $D$:** - 直线 $y=1-x$ 和 $y=1+x$ 在 $y$-轴上相交于 $y=1$，在 $x$-轴上分别相交于 $x=1$ 和 $x=-1$。 - 区域 $D$ 关于 $y$-轴对称，由 $x$-轴在下方，直线 $y=1-x$ 和 $y=1+x$ 在上方所围成。 2. **设置二重积分:** - 我们将首先对 $y$ 进行积分，然后对 $x$ 进行积分。 - 对于一个固定的 $x$ 在 $[-1, 1]$ 范围内，$y$ 的范围从 $0$ 到 $1-|x|$。由于区域关于 $y$-轴对称，我们可以将积分分为两部分，但更简单的方法是使用 $y$ 的分段函数。 3. **将二重积分写成迭代积分:** \[ \iint\limits_{D}(x^{2}+\sin x\cos y)\,dxdy = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{1-|x|} (x^{2} + \sin x \cos y) \, dy \, dx \] 4. **对 $y$ 进行积分:** \[ \int_{0}^{1-|x|} (x^{2} + \sin x \cos y) \, dy = \int_{0}^{1-|x|} x^{2} \, dy + \int_{0}^{1-|x|} \sin x \cos y \, dy \] - 第一个积分是： \[ \int_{0}^{1-|x|} x^{2} \, dy = x^{2} \left[ y \right]_{0}^{1-|x|} = x^{2} (1-|x|) \] - 第二个积分是： \[ \int_{0}^{1-|x|} \sin x \cos y \, dy = \sin x \left[ \sin y \right]_{0}^{1-|x|} = \sin x \sin(1-|x|) \] - 将这些结果合并，我们得到： \[ \int_{0}^{1-|x|} (x^{2} + \sin x \cos y) \, dy = x^{2} (1-|x|) + \sin x \sin(1-|x|) \] 5. **对 $x$ 进行积分:** \[ \int_{-1}^{1} \left( x^{2} (1-|x|) + \sin x \sin(1-|x|) \right) \, dx \] - 由于 $\sin x \sin(1-|x|)$ 是一个奇函数，其在对称区间 $[-1, 1]$ 上的积分是零： \[ \int_{-1}^{1} \sin x \sin(1-|x|) \, dx = 0 \] - 因此，我们只需要积分 $x^{2} (1-|x|)$： \[ \int_{-1}^{1} x^{2} (1-|x|) \, dx \] - 由于 $x^{2} (1-|x|)$ 是一个偶函数，我们可以从 $0$ 到 $1$ 进行积分，然后乘以 2： \[ \int_{-1}^{1} x^{2} (1-|x|) \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^{2} (1-x) \, dx \] - 简化被积函数： \[ x^{2} (1-x) = x^{2} - x^{3} \] - 从 $0$ 到 $1$ 进行积分： \[ \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) \, dx = \left[ \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \] - 乘以 2： \[ 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6} \] 6. **最终答案:** \[ \iint\limits_{D}(x^{2}+\sin x\cos y)\,dxdy = \boxed{\frac{1}{6}} \]