真空中一均匀带电细直杆,长度为2a,总电荷为 +Q, 沿Ox轴固定放置(如图所示).一运-|||-动粒子质量为m、带有电荷 +9, 在经过x轴上的C点时,速率为v.试求:-|||-(1)粒子在经过C点时,它与带电杆之间的相互作用电势能(设无穷远处为电势零点);-|||-(2)粒子在电场力作用下运动到无穷远处的速率va(设v.远小于光速).-|||-a a a-|||-o C x

考查要点：本题主要考查带电体在连续带电体电场中的电势能计算，以及能量守恒定律的应用。

解题思路：

1. 电势能计算：

   • 核心思路：将带电杆视为连续带电体，利用微元法计算杆在C点产生的电势，再结合粒子电荷求电势能。
   • 关键点：正确确定杆的位置与C点的相对位置，积分每个微元电荷在C点产生的电势，注意积分上下限。

2. 速率计算：

   • 核心思路：应用能量守恒，电势能的减少等于动能的增加。
   • 关键点：明确初始状态（C点）和最终状态（无穷远处）的能量表达式，注意无穷远处电势能为零。

（1）电势能计算

确定杆的位置与C点坐标

假设带电杆沿Ox轴从$x=0$延伸至$x=2a$，C点位于$x=3a$处。

微元法计算电势

取杆上微小电荷元$dx$，其电荷为：
$dq = \frac{Q}{2a} dx$
该微元在C点产生的电势为：
$dU = \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{Q}{8\pi \varepsilon_0 a} \cdot \frac{dx}{3a - x}$
其中$r = 3a - x$为微元到C点的距离。

积分求总电势

总电势为：
$U = \int_0^{2a} dU = \frac{Q}{8\pi \varepsilon_0 a} \int_0^{2a} \frac{dx}{3a - x}$
令$u = 3a - x$，积分上下限变为$u=3a$到$u=a$，得：
$U = \frac{Q}{8\pi \varepsilon_0 a} \ln 3$

电势能表达式

粒子电势能为：
$W = qU = \frac{qQ \ln 3}{8\pi \varepsilon_0 a}$

（2）速率计算

能量守恒方程

初始动能为$\frac{1}{2}mv^2$，初始电势能为$W$；无穷远处动能为$\frac{1}{2}mv_0^2$，电势能为$0$。根据能量守恒：
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{qQ \ln 3}{8\pi \varepsilon_0 a}$

解方程求速率

整理得：
$v_0 = \sqrt{v^2 + \frac{qQ \ln 3}{4\pi \varepsilon_0 a m}}$