(6) =((1+xy))^y;

考查要点：本题主要考查多元复合函数的偏导数计算，特别是当变量同时出现在底数和指数中的复杂情况。核心思路是对数求导法结合链式法则，将复杂的指数形式转化为线性表达式，简化求导过程。

关键点：

1. 对数求导法：通过取自然对数将指数函数转化为乘积形式，便于逐层求导。
2. 链式法则：处理复合函数的嵌套结构，注意区分对不同变量的偏导。
3. 乘积法则：在对指数中的乘积项求导时需正确应用乘积法则。

求 $\frac{\partial z}{\partial x}$

步骤1：取自然对数

对等式两边取自然对数：
$\ln z = y \cdot \ln(1 + xy)$

步骤2：对$x$求偏导

对$x$求偏导时，$y$视为常数：
$\frac{1}{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left[ \ln(1 + xy) \right]$

步骤3：计算内层导数

对$\ln(1 + xy)$求导：
$\frac{\partial}{\partial x} \ln(1 + xy) = \frac{y}{1 + xy}$

步骤4：整理结果

代入并解出$\frac{\partial z}{\partial x}$：
$\frac{\partial z}{\partial x} = z \cdot \frac{y^2}{1 + xy} = (1 + xy)^y \cdot \frac{y^2}{1 + xy} = y^2 (1 + xy)^{y - 1}$

求 $\frac{\partial z}{\partial y}$

步骤1：取自然对数

同上：
$\ln z = y \cdot \ln(1 + xy)$

步骤2：对$y$求偏导

对$y$求偏导时，需同时对指数和底数求导：
$\frac{1}{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = \ln(1 + xy) + y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left[ \ln(1 + xy) \right]$

步骤3：计算内层导数

对$\ln(1 + xy)$求导：
$\frac{\partial}{\partial y} \ln(1 + xy) = \frac{x}{1 + xy}$

步骤4：整理结果

代入并解出$\frac{\partial z}{\partial y}$：
$\frac{\partial z}{\partial y} = z \left[ \ln(1 + xy) + \frac{xy}{1 + xy} \right] = (1 + xy)^y \left[ \ln(1 + xy) + \frac{xy}{1 + xy} \right]$