题目
13.求极限lim_(xto0^+)(e^x-1-x)(1)/(ln x).
13.求极限$\lim_{x\to0^{+}}(e^{x}-1-x)\frac{1}{\ln x}$.
题目解答
答案
将原式改写为指数形式：
\[
(e^x - 1 - x)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{\ln(e^x - 1 - x)}{\ln x}}
\]
求极限：
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(e^x - 1 - x)}{\ln x}
\]
使用泰勒展开 $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$，得：
\[
e^x - 1 - x \approx \frac{x^2}{2} \quad \Rightarrow \quad \ln(e^x - 1 - x) \approx \ln\left(\frac{x^2}{2}\right) = 2\ln x - \ln 2
\]
从而：
\[
\frac{\ln(e^x - 1 - x)}{\ln x} \approx \frac{2\ln x - \ln 2}{\ln x} \to 2 \quad (x \to 0^+)
\]
因此，原极限为：
\[
e^2
\]
答案：$\boxed{e^2}$
解析
考查要点：本题主要考查指数函数的极限求解，涉及泰勒展开和等价无穷小替换的应用，以及如何处理形如$1^{\infty}$型未定式。
解题核心思路：
- 将原式转化为指数形式，利用$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x)}$的性质；
- 泰勒展开$e^x$至二次项，简化分子表达式；
- 通过等价无穷小替换和分式化简，求出指数部分的极限。
破题关键点：
- 正确展开$e^x$的泰勒多项式，得到$e^x -1 -x \approx \frac{x^2}{2}$；
- 将$\ln(e^x -1 -x)$转化为$\ln\left(\frac{x^2}{2}\right)$，并分离主部$2\ln x$；
- 分析分式$\frac{2\ln x - \ln 2}{\ln x}$在$x \to 0^+$时的极限。
将原式改写为指数形式：
$(e^x - 1 - x)^{\frac{1}{\ln x}} = e^{\frac{\ln(e^x - 1 - x)}{\ln x}}$
步骤1：泰勒展开
利用泰勒展开$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，得：
$e^x - 1 - x \approx \frac{x^2}{2}$
步骤2：近似处理对数项
代入上式，得：
$\ln(e^x - 1 - x) \approx \ln\left(\frac{x^2}{2}\right) = 2\ln x - \ln 2$
步骤3：求分式极限
将分子代入分式：
$\frac{\ln(e^x - 1 - x)}{\ln x} \approx \frac{2\ln x - \ln 2}{\ln x} = 2 - \frac{\ln 2}{\ln x}$
当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，因此$\frac{\ln 2}{\ln x} \to 0$，分式极限为$2$。
步骤4：求原式极限
指数部分的极限为$2$，因此原式极限为：
$e^2$