7.[福建2020适应性模拟]已知 tan alpha =2 ,则-|||-dfrac ({sin )^2alpha -(cos )^2alpha +2}(2{sin )^2alpha +(cos )^2alpha } 等于 ()-|||-A. dfrac (13)(9) B. dfrac (11)(9) C. dfrac (6)(7) D. dfrac (4)(7)

考查要点：本题主要考查三角恒等式的应用，特别是利用$\tan \alpha$的值对含有$\sin^2 \alpha$和$\cos^2 \alpha$的分式进行化简求值。

解题核心思路：

1. 利用$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1$的恒等式，将分子中的常数项“2”拆解为$2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$，从而统一表达式中的三角函数项。
2. 将分子和分母同时除以$\cos^2 \alpha$，转化为仅含$\tan^2 \alpha$的表达式，代入已知的$\tan \alpha =2$即可求解。

破题关键点：

• 灵活拆分常数项，结合三角恒等式简化表达式。
• 统一变量，将分式转化为仅关于$\tan \alpha$的形式，避免直接计算$\sin \alpha$和$\cos \alpha$的具体值。

步骤1：拆分常数项
将分子中的“2”改写为$2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$，利用$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1$：
$\begin{aligned}\text{分子} &= \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 2 \\&= \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha + 2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) \\&= 3\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha.\end{aligned}$

步骤2：分子分母同除以$\cos^2 \alpha$
将分子和分母同时除以$\cos^2 \alpha$，得到：
$\begin{aligned}\text{分式} &= \frac{3\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha} \\&= \frac{3\tan^2 \alpha + 1}{2\tan^2 \alpha + 1}.\end{aligned}$

步骤3：代入$\tan \alpha =2$
计算得：
$\frac{3 \times 2^2 + 1}{2 \times 2^2 + 1} = \frac{13}{9}.$